Es diu que un sistema és equivalent a un altre quan tenen la mateixa solució.
El mètode de Gauss utilitza la idea de sistema equivalent per resoldre el sistema donat. Per això utilitza certes regles de transformació de sistemes:
-
Si a tots dos membres d'una equació d'un sistema se'ls suma (o resta) una mateixa expressió, el sistema resultant és equivalent.
-
Si es multipliquen (o es divideixen) dos membres d'un sistema per un nombre diferent de zero el sistema resultant és equivalent. Per exemple $$3x+2y-z=2$$ equival a $$15x+10y-5z=10$$.
- Si es suma (o es resta) a una equació del sistema altra equació del sistema el resultant és equivalent.
$$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \ \mbox{fila1-fila2} \ \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$$ Aquests dos sistemes són equivalents.
- Si en un sistema es substitueix una equació per una altra que resulti de fer una combinació lineal de les altres equacions del sistema, el sistema resultant és equivalent al donat.
$$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \ \mbox{fila1-3fila2} \ \rightarrow \begin{pmatrix} 4 & -7 & 1 & -7 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$$ En aquest cas a la fila1 se li resta una combinació lineal de les altres files. El sistema resultant és equivalent.
- Si en un sistema es canvia l'ordre de les equacions o de les incògnites el sistema resultant és equivalent.
$$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$$
S'han canviat la fila1 i fila2 de lloc, però el sistema resultant és equivalent al primer.
Dit d'una altra manera, si se'ns dóna un sistema d'equacions qualsevol un pot utilitzar les $$5$$ regles precedents per modificar-lo i construir un altre sistema amb la mateixa solució.