Simplificació de fraccions algebraiques
Donada una fracció algebraica, si el numerador i el denominador tenen algun factor en comú, aquest es pot simplificar. El resultat pot ser una fracció algebraica equivalent, o un polinomi.
Simplificar la següent fracció algebraica i concloure si és un polinomi o una fracció algebraica. $$$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1}$$$ Factoritzats el numerador i el denominador:
$$x^2-1=(x+1)\cdot(x-1)$$
$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$
Veiem que el numerador i el denominador tenen un factor comú, per tant:
$$$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x+1}{x-1}$$$ I el resultat és una fracció algebraica.
Simplificar la següent fracció algebraica i concloure si és un polinomi o una fracció algebraica. $$$\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}$$$ Factoritzats el numerador i el denominador:
$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$
$$x-2$$
Veiem que el numerador i el denominador tenen un factor comú, per tant:
$$$\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}=\dfrac{(x-2)^2}{x-2}=x-2$$$ I el resultat és un polinomi.
Amplificació de fraccions algebraiques
Com en una fracció, sempre podem multiplicar el numerador i el denominador per un polinomi qualsevol. Aquesta estratègia es diu amplificació o expansió i pot ser útil en algunes ocasions.
Expandir la següent fracció algebraica $$\dfrac{x-1}{x+2}$$ de tal manera que tingui un polinomi amb arrel $$x=-1$$ en el denominador.
Només cal multiplicar la fracció algebraica per l'expressió $$x+1$$ tant en el numerador com en el denominador: $$$\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}\cdot\dfrac{x+1}{x+1}$$$ Ara si es vol es poden expandir els polinomis: $$$\dfrac{x-1}{x+2}\cdot\dfrac{x+1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}=\dfrac{x^2-1}{x\cdot(x+1)+2\cdot(x+1)}=$$$
$$$=\dfrac{x^2-1}{x^2+3x+2}$$$ El resultat és una fracció algebraica equivalent a la inicial.
Expandir la següent fracció algebraica $$\dfrac{x+2}{x-2}$$ del tal manera que tingui un polinomi amb arrel $$x=3$$ en el denominador.
Només cal multiplicar la fracció algebraica per l'expressió $$x-3$$ tant en el numerador com en el denominador: $$$\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{x+2}{x-2}\cdot\dfrac{x-3}{x-3}$$$ Ara si es vol es poden expandir els polinomis: $$$\dfrac{x+2}{x-2}\cdot\dfrac{x-3}{x-3}=\dfrac{(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x\cdot(x-3)+2\cdot(x-3) }{x\cdot(x-3)-2\cdot(x-3)}=$$$
$$$=\dfrac{x^2-x-6}{x^2-5x+6}$$$ El resultat és una fracció algebraica equivalent a la inicial.