Ordenar fraccions

Donats dos nombres enters podem determinar fàcilment quin és més gran. Aquesta relació d'ordre es pot definir també entre les fraccions.

Considerem les fraccions $$\dfrac{a}{b}$$ i $$\dfrac{c}{d}$$ amb $$b$$ i $$d$$ positius. Aleshores la fracció $$\dfrac{a}{b}$$ és més gran que la fracció $$\dfrac{c}{d}$$ si $$$a\cdot d> c\cdot b$$$

Aquesta relació és natural, ja que $$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a\cdot d}{b \cdot d}$$ i $$\displaystyle \frac{c}{d}=\frac{c\cdot b}{d\cdot b}$$, i al tenir el mateix denominador podem fixar-nos només en el numerador.

Anem a ordenar els nombres $$\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{5}$$ i $$\dfrac{1}{4}$$.

Les escrivim amb denominador comú, $$$\displaystyle \frac{1}{3}=\frac{1\cdot5\cdot4}{3\cdot5\cdot4}=\frac{20}{60}$$$ $$$\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{2\cdot3\cdot4}{5\cdot3\cdot4}=\frac{24}{60}$$$ $$$\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1\cdot3\cdot5}{4\cdot3\cdot5}=\frac{15}{60}$$$

Com que $$15 < 20 < 24$$ concluim que la fracció $$\dfrac{1}{4}$$ és menor que $$\dfrac{1}{3}$$, que és menor que $$\dfrac{2}{5}$$. $$$\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{2}{5}$$$