La idea de creixement o decreixement porta de la mà la idea d'interval o entorn. Doncs bé, una funció tindrà trossos, trams o intervals creixents i / o decreixents. Ara farem un estudi d'aquests intervals mitjançant l'ús de les derivades.
Sigui la funció $$$f(x)=x^2-4x+1$$$ Volem estudiar aquesta funció, avaluant quan aquesta és creixent o decreixent, i per això hem de determinar els seus intervals i estudiar les seves derivades. Per a tal propòsit és útil seguir els següents passos:
-
En primer lloc es calcula la derivada de $$f(x)$$ $$$f'(x)=2x-4$$$
-
S'obtenen les arrels de la derivada. Per això, s'imposa $$f'(x)=0$$: $$$f'(x)=2x-4=0 \Longrightarrow x=2$$$ L'arrel és $$x=2$$.
- S'estableixen intervals oberts amb les arrels trobades i les possibles discontinuïtats de la funció:
En aquest cas, els dos intervals (no hi ha discontinuïtats en $$f (x)$$) seran: $$(-\infty, 2) \cup (2,\infty)$$ (on el símbol utilitzat es llegeix 'unió'.)
- Es tria un valor per a cada interval i es calcula el signe de la derivada. Vegeu de triar un valor en el primer interval implica triar un nombre qualsevol entre $$-\infty$$ i $$2$$:
$$f'(1)=2 \cdot 1-4=-2 < 0 $$, Decreixement
Per al segon interval podem triar, per exemple, el $$10$$
$$f'(1)=2 \cdot 10 -4=16 >0$$, Creixement
És a dir, ja es poden establir els intervals creixents i decreixents:
$$(-\infty , 2)$$ Decreixement
$$(2,\infty)$$ Creixement
Sigui ara la funció $$$\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{(x-2)^2}$$$ S'estudien els seus intervals:
Es calcula la derivada $$$\displaystyle f'(x)=\frac{4x^3(x-2)^2-x^4\cdot 2(x-2)}{(x-2)^4}=\frac{2x^3(x-4)}{(x-2)^3}$$$
Es calculen les arrels de la derivada, $$f '(x) =0$$ $$$ f'(x)=0 \Rightarrow \displaystyle \frac{2x^3(x-4)}{(x-2)^3}=0 \Rightarrow x=0 \mbox{ ó } x=4$$$
Es construeixen els intervals a partir de les arrels i les discontinuïtats (en aquest cas hi ha discontinuïtat en $$x=2$$).
Els intervals queden doncs, $$(-\infty, 0) \cup (0,2) \cup (2,4) \cup (4,\infty)$$. La funció es separa en quatre intervals.
Es trien valors qualssevol per a cada un dels intervals i es calcula el valor de la derivada en aquests punts.
Interval 1: $$\displaystyle f'(-1)=-\frac{10}{27} < 0 \Rightarrow $$ Decreixent
Interval 2: $$f'(1)=6 > 0 \Rightarrow$$ Creixent
Interval 3: $$f'(3)=-54 < 0 \Rightarrow$$ Decreixent
Interval 4: $$\displaystyle f'(5)=\frac{250}{27}>0 \Rightarrow$$ Creixent
En resum, doncs, $$$\begin{array}{l} (-\infty, 0) \mbox{ Decreixent }\\ (0,2) \mbox{ Creixent }\\ (2,4) \mbox{ Decreixent } \\ (4, \infty) \mbox{ Creixent } \end{array}$$$