Buscarem solucions d'un sistema lineal a coeficients constants d'ordre $$n$$ no homogeni. Tot i així, haurem d'afegir una restricció en el mètode que presentarem.
Si la nostra EDO és: $$$a_n \cdot y^{(n)}(x)+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}(x)+ \ldots + a_1 \cdot y'(x) +a_0 \cdot y(x)= f(x)$$$ (lineal a coeficients constants) hem de demanar que la funció $$f(x)$$ sigui un polinomi, una exponencial, sinus o cosinus o qualsevol combinació d'aquestes.
És a dir, ara estarem preparats per resoldre per exemple: $$$y''+y=3 \cos x+e^2x$$$
Pel mateix motiu que en sistemes lineals, una solució general d'aquesta equació és la suma de la solució de la part homogènia i la solució particular de la no homogènia.
Anem a resoldre l'EDO pel mètode del polinomi anul·lador o de coeficients indeterminats.
Suposem que tenim l'EDO escrita anteriorment i $$f(x)$$ una funció que compleix les condicions que hem demanat. Llavors:
- Resolem la part homogènia. De manera que obtenim $$n$$ solucions linealment independents.
En l'exemple que hem donat, les solucions són:$$$y_1(x)=\cos x \\ y_2(x)=\sin x$$$
- Busquem un polinomi que anul·li $$f(x)$$. Aquesta operació consisteix a trobar un polinomi que els seus coeficients multipliquin les derivades. És a dir:$$$Q(D)=b_nD^n+b_{n-1}D^{n-1}+ \ldots+b_1D+b_0Id$$$on $$D^k$$ significa derivar $$k$$ vegades la funció que el multiplica. Així,$$$Q(D)f(x)=\Big(b_nD^n+b_{n-1}D^{n-1}+ \ldots +b_1D+b_0Id\Big) f(x)=\\=b_nD^nf(x)+b_{n-1}D^{n-1}f(x)+ \ldots + b_1 D f(x)+b_0Id\cdot f(x)= \\ =b_n f^n (x)+b_{n-1}f^{n-1}(x)+ \ldots +b_1 f'(x)+b_0f(x)=0$$$És a dir, és com buscar quina EDO lineal i homogènia satisfà $$f (x)$$. Per fer-ho procedim de manera inversa (de quan trobem solucions en el cas homogeni).
En l'exemple anterior, hem de trobar un polinomi que anul·li $$f(x)=3 \cos x+e^{2x}$$.
Procedim de manera inversa que quan trobem solucions, és a dir: $$\cos x$$ prové de $$\lambda=ie^{2x}$$ que prové de $$\lambda=2$$.
Per tant el polinomi anul·lador és: $$Q(D)=\Big(D^2+ID\Big) \cdot (D \cdot 2Id)$$.
En efecte, $$$Q(D)f(x)=\Big(D^2+Id \Big) \cdot \Big(D-2Id\Big) f(x)=\Big( D^3-2D^2+D-2Id\Big)f(x)=\\ =f'''(x)-ef''(x)+f'(x)-2f(x)=\\=3 \sin x+8e^{2x}+6 \cos x- 8e^{2x}-3 \sin x+2e^{2x}-6\cos x-2e^{2x}=0$$$
- Notem que, introduint aquesta notació, la nostra EDO inicial es pot escriure com $$P(D)y(x)=f(x)$$ , amb $$$P(D)=a_nD^n+a_{n-1}D^{n-1}+\ldots+a_1D+a_0Id$$$ Aplicant el polinomi $$Q (D)$$ a l'anterior igualtat tenim: $$$P(D)y(x)=f(x) \Longrightarrow Q(D)P(D)y(x)=Q(D)f(x)=0$$$ i per tant tenim una nova equació, però homogènia d'ordre $$k$$ (més gran que $$n$$). Llavors solucionem aquest problema, obtenint $$k$$ funcions, de les quals les $$n$$ primeres són solucions trobades en (1).$$$y^\star (x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\ldots+C_ny_n(x)+D_1\widetilde{y}_{n+1}(x)+ \ldots +D_k \widetilde{y}_k(x)$$$
En l'exemple anterior, doncs, tenim $$Q(D)P(D)=(D^2+Id)(D^2+Id)(D-2Id)$$ que té per arrels (i per tant per solucions associades): $$\lambda = \pm i$$ amb multiplicitat $$2$$ que dóna per solucions $$\cos x, \sin x, x \cdot \cos x, x \cdot \sin x$$, $$\lambda=2 $$ que dóna per solució $$e^{2x}$$.
Per tant tenim que $$$y^\star (x)=C_1\cos x+C_2 \sin x+D_1 x\cdot \cos x+D_2 x \cdot \sin x+D_3 e^{2x}$$$
- Busquem una solució particular de l'equació no homogènia de la forma: $$y_p(x)=D_1\widetilde{y}_{n+1}(x)+\ldots+D_k\widetilde{y}_k(x)$$ és a dir, agafem les solucions que han aparegut en (3), que no teníem en (1) i busquem certs coeficients per obtenir la solució.
En el nostre exemple, hem de buscar una solució particular de la forma: $$y_p(x)=D_1\cdot \cos x$$.
Imposem que sigui solució: $$$y''_p+y_p=3 \cos x+e^{2x} \\ y''_p+y_p=-2D_1\sin x-D_1x\cos x+2D_2\cos x-D_2x\sin x+4D_3e^{2x}+D_1x \cos x+$$$ $$$+D_2 x \sin x+D_3 e^{2x}= \\ =-2D_1 \sin x +2 D_2 \cos x+ 5D_3e^{2x}$$$ Igualant coeficients, obtenim: $$$D_1=0 \\ D_2=\displaystyle \frac{3}{2} \\ D_3= \displaystyle \frac{1}{5}$$$ Per tant, la solució particular és: $$\displaystyle y_p(x)=\frac{3}{2}x \cdot \sin x+\frac{1}{5}e^{2x}$$
- Finalment, tenim que la solució general de la nostra EDO no homogènia inicial és:$$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$$
Per acabar amb el nostre exemple, tenim que la solució general és: $$$y(x)=c_1\cos x +c_2 \sin x+\displaystyle \frac{3}{2} x \cdot \sin x+\frac{1}{5}e^{2x}$$$