Resol la següent equació: $$y''+4y=4 \cos x +3 \sin x -8$$
Desenvolupament:
Tenim una EDO lineal a coeficients constants no homogènia. Primer de tot resolem la part homogènia $$$y''+4y=0$$$ Tenim per polinomi característic: $$p(\lambda)=\lambda^2+4$$ que que té per arrels:
- $$\lambda=\pm2i$$ arrel complexa i la seva conjugada que donen per solució $$y_1(x)=\cos(2x)$$ y $$y_1(x)=\sin(2x)$$.
Busquem un polinomi $$Q(D)$$ que anul·li $$f(x)$$. Per fer-ho procedim de manera inversa de quan calculem solucions homogènies:
-
$$\cos(x)$$ procedeix d'una arrel complexa $$\lambda=i$$
-
$$\sin(x)$$ procedeix d'una arrel complexa $$\lambda=-i$$
- $$1$$ procedeix d'una arrel real simple $$\lambda=0$$
Per tant el polinomi és $$Q(D)=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)(D-0)=(D^2+Id)D$$
Considerem el nou problema homogeni $$Q(D)P(D)y(x)=0$$ $$$Q(D)P(D)y(x)=(D^2+Id)D(D^2+4D)y(x)=$$$ $$$=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)D(D^2-4Id)y(x)=0$$$ Obtenim que les solucions del problema són: $$$y^*(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+C_3+C_4\sin(x)+C_5\cos(x)$$$ Ara, agafem les funcions que són solució de $$y^*$$, però que no ho eren de $$y_h$$, i busquem una solució particular de com combinació lineal d'aquestes solucions: $$$y_p(x)=A+B\cdot \cos(x)+C\cdot\sin(x)$$$ Imposem que sigui solució: $$$\left. \begin {array} {l} y_p''+4y_p=4\cos(x)+3\sin(x)-8 \\ y_p''+4y_p=-B\cos(x)-C\sin(x)+4A+4B\cos(x)+4C\sin(x)= \\ = 4A+3B\cos(x)+3C\sin(x)\end{array}\right\}$$$ $$$\Rightarrow \left\{ \begin {array} {c} 4A=-8 \\ 3B=4 \\ 3C=3 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin {array} {c} A=-2 \\ B=\dfrac{4}{3} \\ C=1 \end{array}\right.$$$ Finalment tenim que la solució general és: $$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\dfrac{4}{3}\cos(x)+\sin(x)-2$$$
Solució:
$$y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\dfrac{4}{3}\cos(x)+\sin(x)-2$$