Transformació d'EDO d'ordre n

Tota equació diferencial (de qualsevol ordre) es pot escriure en forma de sistema. Per tant podrem resoldre aquelles equacions d'ordre $$n$$ que s'escriguin en forma d'algun sistema que sapiguem resoldre, és a dir, un sistema a coeficients constants.

Suposem que tenim una EDO d'ordre $$n$$, $$$x^{n)}(t)+a_{n-1}(t) \cdot x^{n-1)}(t)+ \ldots + a_1(t) \cdot x'(t)+a_0(t) \cdot x(t)=f(t)$$$

Definim: $$$\begin{array}{rcl} y_1 &=& x \\ y_2 &=& x' \\ y_3 &=& x'' \\ \ldots \\ y_n &=& x^{n-1)} \end{array}$$$ Aleshores $$$\begin{array} {l} y_1'=x'=y_2 \\ y_2'=x''=y_3 \\ \ldots \\ y_n'=x^{n)}=f(t)-a_{n-1}(t) \cdot x^{n-1)}(t)- \ldots -a_1(t)\cdot x'(t)-a_0(t)\cdot x(t)= \\ =f(t)-a_{n-1}(t) \cdot y_n(t)- \ldots -a_1(t)\cdot y_2(t)-a_0(t)\cdot y_1(t)\end{array}$$$ Obtenint un sistema lineal d'ordre $$1$$. Com ja hem dit, si és a coeficients constants, ho sabrem resoldre.

Donar la solució, consistirà en donar la funció $$y_1(t)$$, ja que $$x(t)=y_1(t)$$.

Per exemple, considerem l'EDO d'ordre $$5$$: $$$x^{5)}+21x^{3)}-2x''-x=2\cos t$$$ Diem: $$$\begin{array}{rcl} y_1 &=& x \\ y_2 &=& x' \\ y_3 &=& x'' \\ y_4 &=& x''' \\ y_5 &=& x^{4)} \end{array}$$$

Així obtenim el sistema: $$$\begin{array} {l} y_1'=y_2 \\ y_2'=y_3 \\ y_3'=y_4 \\ y_4'=y_5 \\ y_5'=-21y_4+2y_3+y_1+2 \cos t \end{array}$$$

que podem escriure en forma matricial com: $$$\begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4' \\ y_5' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & -21 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2\cos t \end{pmatrix}$$$

Aquest mètode d'obtenció d'un sistema lineal és totalment general. Tot i això, tenint en compte que només sabem resoldre sistemes a coeficients constants, aquest mètode només ens servirà per resoldre EDO's d'ordre $$n$$ a coeficients constants (ja que amb aquesta transformació mai s'obté un sistema triangular).