Consisteix en aïllar $$y-p_1$$ de l'equació contínua de la recta:$$$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{x-p_1}{v_1}& = & \frac{y-p_2}{v_2} \\ y-p_2 & = & \frac{v_2}{v_1} (x-p_1)\\ y-p_2 & = & m \cdot (x-p_1)\end{array}$$$ on $$m =\dfrac{v_2}{v_1}$$ és el pendent de la recta.
Algunes propietats notables del pendent són:
- El pendent d'una recta és la tangent de l'angle que forma la recta amb l'eix $$OX$$.
- El pendent d'una recta és una mesura de la inclinació de la recta: $$m=0 \longrightarrow $$ recta horitzontal, $$m=1 \longrightarrow$$ recta amb inclinació de $$45^\circ$$, $$m <0 \longrightarrow $$ recta inclinada cap avall.
- Dues rectes que tenen el mateix pendent són paral·leles (poden ser la mateixa).
- Podem conèixer l'angle entre dues rectes a partir dels seus respectius pendents.
- Si $$\overrightarrow{v}= (v_1,v_2)$$ és un vector director d'una recta $$r$$, el pendent d'aquesta recta $$r$$ serà $$\displaystyle m =\frac{v_2}{v_1}$$
- Si coneixem el pendent $$m$$ d'una recta, un vector director d'aquesta és $$\overrightarrow {v}=(1,m)$$
Una propietat important de l'equació punt-pendent és que ens permet escriure l'equació de la recta a partir únicament del pendent i d'un punt de la recta.
En efecte, si volem una recta de pendent $$m$$ que passi pel punt $$P = (p_1,p_2)$$ hem d'escriure: $$$y-p_2=m \cdot (x-p_1)$$$
Trobeu l'equació punt-pendent de la recta $$r$$ que passa pels punts $$(3, 4)$$ i $$(-2,6)$$.
L'equació vectorial amb $$A=(3,4)$$ i $$B=(-2,6)$$ és: $$$(x, y) = A + k \cdot \overrightarrow {AB} = (3, 4) + k \cdot (-5, 2)$$$ Per tant les equacions paramètriques de la recta són: $$$\left. \begin{array}{rcl} x=3-5 \cdot k \\ y=4+2 \cdot k \end{array} \right\}$$$ Aïllant $$k$$ obtenim l'equació contínua $$$\displaystyle \frac{x-3}{-5}=\frac{y-4}{2}$$$ i finalment, aïllant $$y - 4$$ i reescrivint tenim: $$$y-4=\displaystyle \frac{2}{-5}(x-3)=\frac{-2}{5}(x-3)$$$ que és l'equació punt-pendent de la recta.
El pendent de la recta és $$m =-\displaystyle \frac{2}{5}$$.