Exercicis de Desviació respecte a la mitjana i desviació mitjana

Desenvolupament:

Les anotacions en els partits són: $$58, 58, 57, 69, 53, 60, 59$$ i $$57$$. Es calcula la mitjana $$$\overline{x}=\dfrac{58+58+57+69+53+60+59+57}{8}\simeq58,9$$$ Seguidament es calculen les desviacions indicant el resultat en una taula:

Anotació	$$D_i=x_i-\overline{x}=x_i-58,9$$
$$53$$	$$-5,9$$
$$57$$	$$-1,9$$
$$57$$	$$-1,9$$
$$58$$	$$-0,9$$
$$58$$	$$-0,9$$
$$59$$	$$0,1$$
$$60$$	$$1,1$$
$$69$$	$$10,1$$

Solució:

Anotació	$$D_i$$
$$53$$	$$-5,9$$
$$57$$	$$-1,9$$
$$57$$	$$-1,9$$
$$58$$	$$-0,9$$
$$58$$	$$-0,9$$
$$59$$	$$0,1$$
$$60$$	$$1,1$$
$$69$$	$$10,1$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

S'omple la taula per facilitar el càlcul de la mitjana i de la desviació mitjana:

	$$x_i$$	$$f_i$$	$$x_i f_i$$	$$|x_i-\overline{x}|$$	$$|x_i-\overline{x}|\cdot f_i$$
$$[140, 155)$$	$$147,5$$	$$3$$	$$442,5$$
$$[155,165)$$	$$160$$	$$6$$	$$960$$
$$[165,175)$$	$$170$$	$$17$$	$$2890$$
$$[175,190)$$	$$182,5$$	$$5$$	$$912,5$$
			$$5205$$

Per a poder omplir les dues últimes columnes es calcula la mitjana $$\overline{x}=\dfrac{5205}{31}=167,9$$

	$$x_i$$	$$f_i$$	$$x_i f_i$$	$$|x_i-\overline{x}|$$	$$|x_i-\overline{x}|\cdot f_i$$
$$[140, 155)$$	$$147,5$$	$$3$$	$$442,5$$	$$20,4$$	$$61,2$$
$$[155,165)$$	$$160$$	$$6$$	$$960$$	$$7,9$$	$$47,4$$
$$[165,175)$$	$$170$$	$$17$$	$$2890$$	$$2,1$$	$$35,7$$
$$[175,190)$$	$$182,5$$	$$5$$	$$912,5$$	$$14,6$$	$$73$$
			$$5205$$		$$217,3$$

Es troba llavors la desviació mitjana $$D_{\overline{x}}=\dfrac{217,3}{31}=7,01$$.

Solució:

$$D_{\overline{x}}=7,01$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es necessita la mitjana per poder aplicar la fórmula $$D_i=x_i-\overline{x}$$.

Per trobar la mitjana només cal sumar tots els termes i dividir pel nombre de llançaments: $$$\overline{x}=\dfrac{1+1+1+3+3+4+4+5+6+6}{10}=\dfrac{34}{10}=3,4$$$ Novament es classifiquen les desviacions en una taula, sense importar ara les freqüències:

Resultat de la tirada	$$D_i=x_i-\overline{x}=x_i-3,4$$
$$1$$	$$-2,4$$
$$3$$	$$-0,4$$
$$4$$	$$0,6$$
$$5$$	$$1,6$$
$$6$$	$$2,6$$

Solució:

Prenent per mostres $$1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6$$ resulta:

Resultat de la tirada	$$D_i$$
$$1$$	$$-2,4$$
$$3$$	$$-0,4$$
$$4$$	$$0,6$$
$$5$$	$$1,6$$
$$6$$	$$2,6$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es calcula primer la mitjana $$$\overline{x}=\dfrac{65+54+54+54+53+50+49+48+46+29+24+24+23+19+17}{15}=$$$ $$$=\dfrac{609}{15}=40,6$$$

Es troba llavors la desviació mitjana: $$$D_{\overline{x}}=\dfrac{|65-40,6|+|54-40,6|+|54-40,6|+|54-40,6|+|53-40,6|+|50-40,6|}{15}+$$$ $$$+\dfrac{|49-40,6|+|48-40,6|+|46-40,6|+|29-40,6|+|24-40,6|+|24-40,6|}{15}+$$$ $$$+\dfrac{|23-40,6|+|19-40,6|+|17-40,6|}{15}=$$$ $$$=\dfrac{24,4+13,4+13,4+13,4+12,4+9,4+8,4+7,4+5,4+11,6+16,6+16,6}{15} $$$ $$$+\dfrac{17,6+21,6+23,6}{15}=\dfrac{215,2}{15}\simeq14,35$$$

Solució:

$$D_{\overline{x}}\simeq 14,35$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Afegim una columna a la taula que ajuda al càlcul de la mitjana:

$$x_i$$	$$f_i$$	$$x_i f_i$$
$$1$$	$$4$$	$$4$$
$$2$$	$$2$$	$$4$$
$$3$$	$$4$$	$$12$$
$$4$$	$$3$$	$$12$$
$$5$$	$$4$$	$$20$$
$$6$$	$$3$$	$$18$$
		$$70$$

Trobem llavors la mitjana $$\overline{x}=\dfrac{70}{20}=3,5$$, i calculem les dues columnes que simplifiquen el càlcul de la desviació mitjana:

$$x_i$$	$$f_i$$	$$x_i f_i$$	$$|x_i-\overline{x}|$$	$$|x_i-\overline{x}|\cdot f_i$$
$$1$$	$$4$$	$$4$$	$$2,5$$	$$10$$
$$2$$	$$2$$	$$4$$	$$1,5$$	$$3$$
$$3$$	$$4$$	$$12$$	$$0,5$$	$$2$$
$$4$$	$$3$$	$$12$$	$$0,5$$	$$1,5$$
$$5$$	$$4$$	$$20$$	$$1,5$$	$$6$$
$$6$$	$$3$$	$$18$$	$$2,5$$	$$7,5$$
		$$70$$		$$30$$

La desviació mitjana és llavors: $$D_{\overline{x}}=\dfrac{30}{20}=1,5$$.

Solució:

$$D_{\overline{x}}=1,5$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Aplicant la fórmula $$$\overline{x}=x_i-D_i=14-3,2=10,8$$$ es troba la mitjana.

b) Seguidament s'aplica l'equació $$$D_i=x_i-\overline{x}=3-10,8 = -7,8$$$ per trobar la desviació de la puntuació de Marc respecte a la mitjana.

Solució:

a) $$\overline{x}=10,8$$

b) $$D_i=-7,8$$

Amagar desenvolupament i solució