Conceptes fonamentals dels vectors

Un vector fix $$\overrightarrow{AB}$$ és un segment orientat que queda determinat per l'origen $$A$$ i l'extrem $$B$$.

imagen

Les característiques principals d'un vector fix $$\overrightarrow{AB}$$ són les següents:

  • Direcció d'un vector fix $$\overrightarrow{AB}$$: És la determinada per la recta que conté $$\overrightarrow{AB}$$ i totes les seves paral·leles.
  • Sentit d'un vector fix $$\overrightarrow{AB}$$: És el que va de l'origen a l'extrem (determinat per la punta de la fletxa).
  • Mòdul d'un vector fix $$\overrightarrow{AB}$$: És la longitud del segment $$AB$$. Es representa per $$|\overrightarrow{AB}|$$ i sempre és un nombre positiu o zero.

Per exemple, un carrer té sentit prohibit, no direcció prohibida. O bé, en un mateix carrer poden haver dos sentits, però sempre tindrà una única direcció.

Classes de vectors

Dos vectors són equipol·lents quan tenen igual mòdul, direcció i sentit.

Els vectors representats en la següent imatge són equipol·lents. imagen

El conjunt de tots els vectors equipol·lents a un vector donat $$\overrightarrow{AB}$$, s'anomena vector lliure. És a dir els vectors lliures tenen el mateix mòdul, direcció i sentit.

Els vectors lligats són vectors equipol·lents que actuen en la mateixa recta. És a dir, són els vectors fixos que tenen el mateix mòdul, direcció, sentit i es troben en la mateixa recta.

imagen

Els vectors oposats tenen el mateix mòdul, direcció, i diferent sentit.

imagen

$$\vec{u}$$ i $$-\vec{u}$$ són vectors oposats ja que tenen el mateix mòdul i direcció, en canvi el seu sentit és el contrari.

Els vectors unitaris són aquells tals que el seu mòdul és $$1$$, és a dir, $$|\vec{u}|=1$$.

Com determinar un vector

Coneixent les coordenades de l'origen $$A$$, i de l'extrem $$B$$, podem determinar les components del vector $$\overrightarrow{AB}$$ que formen $$A$$ i $$B$$, restant a les coordenades de l'extrem les de l'origen: $$$ \overrightarrow{AB}= (x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1, y_2-y_1)$$$ On, $$A$$ és el punt $$(x_1,y_1)$$ i $$B$$ el punt $$(x_2,y_2)$$.

Si $$A=(3, -1)$$ i $$B=(5,2)$$, les components del vector $$\overrightarrow{AB}$$ són: $$(5,2)-(3,-1)=(5-3,2-(-1))=(2,3)$$.

Recordem que en aquest cas $$A$$ és l'origen i $$B$$ és l'extrem del vector $$\overrightarrow{AB}$$.

Com calcular el mòdul d'un vector

1) A partir dels seus components. Si tenim el vector $$\vec{u}=(u_1,u_2)$$, el mòdul de $$\vec{u}$$ és: $$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$$

Si $$\vec{u}=(3,4)$$ el seu mòdul és: $$|\vec{u}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$.

2) A partir de les coordenades dels punts. Si $$A=(x_1,y_1)$$ i $$B=(x_2,y_2)$$, aleshores: $$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$$

Si $$A=(-2,3)$$ i $$B=(2,0)$$, el mòdul de $$\overrightarrow{AB}$$, és:

$$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(2-(-2))^2+(0-3)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$$