Exercicis de Conceptes fonamentals dels vectors

Desenvolupament:

Restem en cada cas les components de l'extrem a les de l'origen.

1. $$(0,6)-(-1,3)=(1,3)$$.
2. $$(1,1)-(2,-1)=(-1,2)$$.
3. $$(-2,1)-(5,1)=(-7,0)$$.
4. Utilitzem la fórmula $$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$, i obtenim: $$\begin{array}{l} |(1,3)|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10} \\ |(-1,2)|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5} \\ |(-7,0)|=\sqrt{(-7)^2+0^2}=\sqrt{49}=7 \end{array} $$

Solució:

1. $$(1,3)$$
2. $$(-1,2)$$
3. $$(-7,0)$$
4. $$\sqrt{10}$$, $$\sqrt{5}$$, $$7$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Com que les components del vector les obtenim restant les de l'origen a les de l'extrem, s'ha de complir: $$(b_1,b_2)-(1,1)=(-2,5)$$ d'on: $$$ (b_1,b_2)=(-2,5)+(1,1)=(-1,6)$$$ El mòdul del vector $$\overrightarrow{AB}$$ serà, utilitzant la fórmula $$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$: $$$ |\overrightarrow{AB}|=|(-2,5)|=\sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$$$

Solució:

$$(-1,6)$$, $$\sqrt{29}$$.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1. $$(x,y)=(4,1)+3(2,5)=(4,1)+(6,15)=(10,16)$$ d'on $$x=10$$, $$y=16$$.
2. $$2(1,x)+3(y,2)=(2,2x)+(3y,6)=(2+3y,2x+6)=(8,-2)$$. $$$ \left. \begin{array}{l} 2+3y=8 \\ 2x+6=-2 \end{array} \right\} \Rightarrow x=-4, \ y=2$$$

3. Apliquem la fórmula $$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$ als nostres vectors.

   Per al primer obtenim: $$|(4,1)|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$$.

   I per al segon: $$|(8,-2)|=\sqrt{8^2+(-2)^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$$.

Solució:

1. $$(4,2)$$
2. $$(10,16)$$
3. $$\sqrt{17}$$ i $$2\sqrt{17}$$

Amagar desenvolupament i solució