Donats dos vectors $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ denotem combinació lineal de $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ a qualsevol expressió de la forma: $$\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$ on $$\lambda$$ i $$\mu$$ són nombres reals.
Un vector $$\vec{w}$$ és combinació lineal de $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ si existeixen nombres reals (escalars) $$\lambda$$ i $$\mu$$ que permeten expressar $$\vec{w}$$ de la forma: $$\vec{w}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$.
Els vectors amb els que hem tractat fins ara són vectors en el pla, és a dir, tenen dos components. En aquest cas podem expressar qualsevol vector $$\vec{w}$$ com una combinació lineal de dos vectors $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ no paral·lels. Aquesta combinació és única.
El vector $$\vec{w}=(-1,3)$$ es pot expressar com a combianció lineal de $$\vec{u}=(1,2)$$ i $$\vec{v}=(0,3)$$?
Volem trobar $$\lambda$$ i $$\mu$$ de manera que $$\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$. Tenim: $$$ (-1,3)=\lambda(1,2)+\mu(0,3)= (\lambda,2\lambda)+(0,3\mu)= (\lambda, 2\lambda+3\mu)$$$
De manera que: $$$\left. \begin{array}{rcl} -1&=&\lambda \\ 3&=&2\lambda+3\mu \end{array} \right\} \Rightarrow \lambda=-1, \ \mu=\dfrac{5}{3}$$$
Acabem de trobar uns valors per $$\lambda$$ i $$\mu$$ per als quals es compleix $$\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$. Així doncs, sí que podem expressar $$\vec{w}=(-1,3)$$ com una combinació lineal de $$\vec{u}=(1,2)$$ i $$\vec{v}=(0,3)$$.