Dados dos vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ denotamos combinación lineal de $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ a cualquier expresión de la forma: $$\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$ donde $$\lambda$$ y $$\mu$$ son números reales.
Un vector $$\vec{w}$$ es combinación lineal de $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ si existen números reales (escalares) $$\lambda$$ y $$\mu$$ que permitan expresar $$\vec{w}$$ de la forma: $$\vec{w}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$.
Los vectores con los que hemos tratado hasta ahora son vectores en el plano, es decir, tienen dos componentes. En este caso podemos expresar cualquier vector $$\vec{w}$$ como combianción lineal de dos vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ no paralelos. Esta combinación es única.
¿El vector $$\vec{w}=(-1,3)$$ se puede expresar como combianción lineal de $$\vec{u}=(1,2)$$ y $$\vec{v}=(0,3)$$?
Queremos encontrar $$\lambda$$ y $$\mu$$ de manera que $$\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$. Tenemos: $$$ (-1,3)=\lambda(1,2)+\mu(0,3)= (\lambda,2\lambda)+(0,3\mu)= (\lambda, 2\lambda+3\mu)$$$
De manera que: $$$\left. \begin{array}{rcl} -1&=&\lambda \\ 3&=&2\lambda+3\mu \end{array} \right\} \Rightarrow \lambda=-1, \ \mu=\dfrac{5}{3}$$$
Acabamos de encontrar unos valores para $$\lambda$$ y $$\mu$$ para los que se cumple $$\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$. Así pues, sí que podemos expresar $$\vec{w}=(-1,3)$$ como combinación lineal de $$\vec{u}=(1,2)$$ y $$\vec{v}=(0,3)$$.