Factorizar los siguientes polinomios:
- $$x^2+10x+25$$
- $$x^4-625$$
- $$x^2+x-6$$
Desarrollo:
1) Intentaremos modificar el polinomio para tener una expresión similar al cuadrado de la suma:
$$x^2+10x+25=x^2+2\cdot5x+5^2=(x+5)^2$$
2) Realizamos el cambio de variable $$x^2=t$$:
$$t^2-625$$
Y ahora podemos aplicar la diferencia de cuadrados:
$$t^2-625=(t+25)\cdot(t-25)$$
Las soluciones son $$t=25$$ y $$t=-25$$. Deshacemos el cambio ahora:
$$x^2=25 \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} x=5 \\ x=-5 \end{array} \right.$$
El otro polinomio $$x^2+25$$ es irreductible.
3) Buscamos los candidatos a raíces del polinomio explicitando los divisores del término independiente (en este caso $$6$$):
valores: $$1,-1,2,-2,3,-3$$
Por lo tanto:
$$p(1)=1^2+1-6=-4$$
$$p(-1)=(-1)^2+(-1)-6=-6$$
$$p(2)=2^2+2-6=0$$
$$p(-2)=(-2)^2+(-2)-6=-4$$
$$p(3)=3^2+3-6=6$$
$$p(-3)=(-3)^2+(-3)-6=0$$
Solución:
- La raíz es $$x=-5$$.
- Las raíces son $$x=5$$ y $$x=-5$$.
- Las raíces son $$x=2$$ y $$x=-3$$.