Relación de orden: inclusión

Dados dos intervalos cualesquiera $$J$$ y $$K$$ diremos que $$J$$ está contenido en $$K$$, $$J\subseteq K$$, si todos los elementos de $$J$$ pertenecen a $$K$$.

El intervalo $$[3,7]$$ está incluido al intervalo $$\Big(-2,\dfrac{15}{2}\Big)$$, y lo denotamos por: $$$[3,7] \subseteq \Big(-2,\dfrac{15}{2}\Big)$$$ ya que $$3 \in \Big(-2,\dfrac{15}{2}\Big)$$, $$7 \in \Big(-2,\dfrac{15}{2}\Big)$$ y, en consecuencia, para cualquier $$x \in [3,7]$$ se cumple que $$x \in \Big(-2,\dfrac{15}{2}\Big)$$

Intuitivamente, diremos que se trata de un orden porqué dados dos intervalos, nos indica cual de ellos es mayor que el otro: si $$J\subseteq K$$ entonces $$J$$ es más pequeño que $$K$$.

A diferencia del orden sobre los reales, no es un orden total, es decir, no todos los pares de intervalos son comparables.

Dados los intervalos $$(2,3)$$ y $$(3,4)$$, vamos a ver que no son comparables.

$$\dfrac{5}{2}\in (2,3),$$ pero $$\dfrac{5}{2}\notin (3,4),$$ por lo tanto no es cierto que $$(2,3)\subseteq (3,4).$$

Así mismo,

$$\dfrac{10}{3}\in (3,4),$$ pero $$\dfrac{10}{3}\notin (2,3),$$ por lo tanto tampoco es cierto que $$(3,4)\subseteq (2,3).$$

Con lo que obtenemos que no son comparables.