Para encontrar el término general de una progresión geométrica utilizando la fórmula que las caracteriza, escribimos una expresión que las define recursivamente: $$$a_{n+1}=a_n \cdot r$$$
Si aplicamos esta ley recursivamente para construir la sucesión, obtenemos que:
$$$a_2=a_1\cdot r$$$ $$$a_3=a_2\cdot r=(a_1\cdot r)\cdot r=a_1(r\cdot r)=a_1\cdot r^2$$$ $$$a_4=a_3\cdot r=(a_1\cdot r^2)\cdot r=a_1(r^2 \cdot r)=a_1\cdot r^3$$$ $$$a_5=a_4\cdot r=(a_1\cdot r^3)\cdot r=a_1(r^3 \cdot r)=a_1\cdot r^4$$$ $$$\ldots$$$
Y, en general nos queda que, $$$a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$$$ Esta expresión nos relaciona cualquier término de la sucesión con el primero a través de la razón de la progresión, es decir, es el término general de la progresión geométrica.
Queremos encontrar qué número ocupa la posición $$37$$ en la sucesión $$\Big(\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2},1,2,\ldots\Big).$$
Observamos que se trata de una progresión geométrica porque el cociente entre dos términos consecutivos es constante e igual a $$2$$.
Como el primer término es $$a_1=\dfrac{1}{8}$$, y la razón es $$r=2$$, nos queda que: $$$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{8}=\dfrac{2^{n-1}}{2^3}=2^{n-4}$$$
Como queremos encontrar el término $$a_{37}$$, tenemos que: $$$a_{37}=2^{37-4}=2^{33}=8.589.934.592$$$
Los términos de una progresión geométrica se pueden expresar a partir de cualquier otro término con la siguiente expresión: $$$a_m=a_k \cdot r^{m-k}$$$ ya que, si aplicamos el término general a las posiciones $$m$$ y $$k$$, tenemos que: $$$a_m=a_1 \cdot r^{m-1}$$$ $$$a_k=a_1 \cdot r^{k-1}$$$ Y haciendo cociente de estas dos expresiones obtenemos: $$$\dfrac{a_m}{a_k}=\dfrac{a_1 \cdot r^{m-1}}{a_1 \cdot r^{k-1}}=\dfrac{r^{m-1}}{r^{k-1}}=r^{m-1-(k-1)}=r^{m-1-k+1}=r^{m-k}$$$ De donde se tiene: $$$a_m=a_k \cdot r^{m-k}$$$
En una progresión geométrica de razón $$r=\dfrac{1}{2}$$ se tiene que $$a_{17}=24$$, y se quiere encontrar el término $$a_{24}$$.
Sabemos que: $$a_m=a_k \cdot r^{m-k}$$, con lo cual:
$$$a_{24}=a_{17}\cdot r^{24-17}=a_{17}\cdot r^7=24 \cdot \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^7=\dfrac{24}{2^7}=\dfrac{3\cdot2^3}{2^7}=\dfrac{3}{2^4}=\dfrac{3}{16}$$$
Así que $$a_{24}=\dfrac{3}{16}.$$