Sabemos algunos conceptos sobre la derivación: si $$F(x)$$ es una función, denotamos $$F'(x)$$ a su derivada, y se calcula según las reglas ya vistas con anterioridad. El problema que abordamos ahora es el problema inverso, es decir, a partir de una derivada, llamémosla $$f(x)$$, encontrar qué función $$F(x)$$ tiene como derivada a $$f(x)$$. O sea, $$F'(x)=f(x)$$.
De otra forma, escribiremos $$\displaystyle\int f(x) \ dx=F(x)$$, que significa que $$f(x)$$ es la derivada de $$F(x)$$ respecto a la variable $$x$$. Entonces, $$F(x)$$ es la integral indefinida, función primitiva, o antiderivada de $$f (x)$$.
Observemos que escribimos el símbolo $$\displaystyle\int$$ para decir que estamos integrando, y $$dx$$ para hacer notar sobre qué variable estamos antiderivando. En algunos casos podría omitirse este $$dx$$, pero para no causar confusiones hay que escribirlo siempre.
Veamos ahora algunas propiedades importantes de la integral indefinida:
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Sabemos que la derivada de una constante $$C$$ es $$\dfrac{d}{dx}C=0$$. Por lo tanto, dada $$f(x)$$, tenemos una función primitiva $$\dfrac{d}{dx}F(x)=F'(x)=f(x)$$, pero entonces también $$F (x) +C$$ es una primitiva válida porque sabemos que $$\dfrac{d}{dx}(F(x)+C)=f(x)$$. Por lo tanto, la primitiva o antiderivada de una función no es única. Y al calcularlas siempre daremos el resultado como: $$\displaystyle\int f(x) \ dx=F(x)+C$$, donde $$C$$ se llama constante de integración. Notemos que no se debe olvidar nunca esta constante.
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La integral, así como la derivada, cumple las propiedades de linealidad, es decir:
- $$\displaystyle \int k \cdot f(x) \ dx = k \cdot \int f(x) \ dx$$
- $$\displaystyle\int (f(x)+g(x)) \ dx=\int f(x) \ dx + \int g(x) \ dx$$