Sabem alguns aspectes sobre la derivació d'una funció: si $$F(x)$$ és una funció, denotem $$F'(x)$$ a la seva derivada. El problema que abordem ara és el problema invers, és a dir, a partir d'una derivada, anomenem-la $$f(x)$$, trobar quina funció $$F(x)$$ té com a derivada a $$f(x)$$. És a dir, $$F'(x)=f(x)$$.
Altrament, escriurem $$\displaystyle\int f(x) \ dx=F(x)$$, que vol dir que $$f(x)$$ és la derivada de $$F(x)$$ respecte a la variable $$x$$. Llavors, $$F(x)$$ és la integral indefinida, funció primitiva, o antiderivada de $$f (x)$$.
Observem que escrivim el símbol $$\displaystyle\int$$ per dir que estem integrant, i $$dx$$ per fer notar sobre quina variable estem integrant. En alguns casos podria ometre's aquest $$dx$$ però per no causar confusions cal escriure'l sempre.
Vegem ara algunes propietats importants de la integral indefinida:
-
Sabem que la derivada d'una constant $$C$$ és $$\dfrac{d}{dx}C=0$$. Per tant, donada $$f(x)$$, tenim una funció primitiva $$\dfrac{d}{dx}F(x)=F'(x)=f(x)$$, però llavors també $$F (x) +C$$ és una primitiva vàlida perquè sabem que $$\dfrac{d}{dx}(F(x)+C)=f(x)$$. Per tant, la primitiva o antiderivada d'una funció no és única. I al calcular sempre donarem el resultat com: $$\displaystyle\int f(x) \ dx=F(x)+C$$, on $$C$$ es diu constant d'integració. Notem que no s'ha d'oblidar mai aquesta constant.
-
La integral, així com la derivada, compleix les propietats de linealitat , és a dir:
- $$\displaystyle \int k \cdot f(x) \ dx = k \cdot \int f(x) \ dx$$
- $$\displaystyle\int (f(x)+g(x)) \ dx=\int f(x) \ dx + \int g(x) \ dx$$