Integral a lo largo de una curva

Sea $$C$$ una curva, parametrizada por $$\gamma (t)$$ en el intervalo $$[a, b]$$, y una función $$f$$ definida en este interval, entonces:

Si $$f$$ es un campo escalar (es decir, si $$f (x, y, z)$$ pertenece a los números reales). Entonces: $$$\displaystyle \int_C f \cdot dL= \int_a^b f(\gamma(t)) \ ||\gamma '(t)|| dt$$$

Es decir, la integral de $$f$$ a lo largo de la curva $$C$$ es la integral entre $$a$$ y $$b$$ de la función compuesta con la parametrización, multiplicada por la norma de la derivada de la parametrización.

Procedimiento

  1. Tomar la parametrización de la superficie $$C$$, calcular la derivada de ésta, y la norma de la derivada.
  2. Sustituir $$x$$, $$y$$ y $$z$$ por $$x (t)$$, $$y (t)$$ y $$z (t)$$ en la función $$f$$, de acuerdo con la parametrización dada.
  3. Calcular la integral resultante.

Calcular la integral de la función $$f(x, y, z)=z$$ a lo largo de la curva $$\gamma (t) = (t\cos t, t \sin t , t)$$ , que es una parametrización de una espiral con una forma parecida a un "tornado".

  1. $$\displaystyle \gamma '(t)=(\cos t-t \sin t, \sin t + \cos t, 1 )$$, $$\displaystyle ||\gamma '(t)||=\sqrt{(\cos t- t \sin t)^2+(\sin t +t \cos t)^2+1^2 }=\sqrt{2+t^2}$$

  2. $$\displaystyle f(\gamma(t))=t$$

  3. $$\displaystyle \int_0^{2\pi}f(\gamma(t)) ||\gamma '(t)|| \ dt=\int_0^{2\pi} t\cdot \sqrt{2+t^2} \ dt= \frac{1}{3}\Big[(2+t^2)^\frac{3}{2}\Big]_0^{2\pi}$$

Si $$F$$ es un campo vectorial $$F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$$. Entonces, $$$\displaystyle \int_CF \cdot dL=\int_a^bF(\gamma (t)) \cdot \gamma'(t) \ dt$$$

es decir, la integral de $$f$$ a lo largo de la curva $$C$$ es la integral entre $$a$$ y $$b$$ de la función compuesta con la parametrización, haciendo el producto escalar con la derivada de la parametrización.

Procedimiento

  1. Tomar la parametrización de la superficie $$C$$ y calcular la derivada de ésta.
  2. Sustituir $$x$$, $$y$$ y $$z$$ por $$x (t)$$, $$y(t)$$ y $$z(t)$$ en la función $$f$$, de acuerdo con la parametrización dada.
  3. Calcular el producto escalar de los resultados de los pasos 1 y 2.
  4. Calcular la integral resultante.

Calcular la integral de $$F(x,y,z)=(-x^2,-3 \cdot x \cdot y+z,y)$$ a lo largo de la curva parametrizada por $$\gamma (t)=(\cos t, \sin t, 2)$$, $$t \in [0,2\pi]$$

1) $$\gamma '(t)=(-\sin t, \cos t ,0)$$

2) $$F(\gamma(t))=(-\cos^2t, -3\sin t \cdot \cos t+2, \sin t)$$

3) $$F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)=(-\cos^2t, -3\cdot \sin t \cdot \cos t +2, \sin t)\cdot(-\sin t, \cos t, 0)=$$

$$=\sin t \cdot cos^2t-3\cdot \sin t \cdot cos^2 t=2 \cdot cos t- 2 \cdot cos^2t \cdot \sin t$$

4) $$\displaystyle \int_0^{2\pi} 2\cdot \cos t -2 \cdot \cos^2 t \cdot \sin t \ dt=\Big[-\frac{2}{3}cos^3 t+2 \sin t\Big]_0^{2\pi}=\frac{2}{3}+0-\Big(-\frac{2}{3}\Big)-0=\frac{4}{3}$$