Hay muchos casos en los que con las variables $$x$$ e $$y$$ no sabremos resolver la integral, ya sea por su función a integrar, o por la complicación de la expresión del intervalo de integración.
En esos casos, buscaremos cambios de variables que nos faciliten la resolución del problema.
El cambio de variable con $$2$$ variables se realiza de forma parecida al de una variable, con el siguiente procedimiento:
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Dadas $$x$$ e $$y$$ las variables iniciales, escoger las funciones $$u(x, y)$$ y $$v(x, y)$$, las nuevas variables del sistema, que preferiblemente nos den un recinto de integración más fácil.
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Calcular la Matriz Jacobiana de la expresión de las coordenadas antiguas en función de las nuevas:$$\displaystyle \begin{bmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv} \\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv} \end{bmatrix}$$, y calcular el valor absoluto de su determinante $$\displaystyle |J|=ABS\left(\left|\begin{bmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv} \\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv}\end{bmatrix}\right|\right)$$
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Calcular la región de integración en las nuevas variables $$u$$, $$v$$ (que llamaremos $$\widehat {R}$$ ), ya sea a partir de la expresión analítica o a partir del dibujo de la región. Calcular también la función $$f (x, y)$$ en función de $$u$$, $$v$$. La llamaremos $$\widehat{f}(u,v)$$.
- $$\displaystyle \int_R f(x,y) \ dxdy=\int_{\widehat{R}} \widehat{f}(u,v)\cdot |J| \ dudv$$