Todo número racional puede expresarse en base decimal. Esta expresión es, por decirlo coloquialmente, lo que la mayoría de gente entiende por un número con coma.
Veamos qué queremos decir con el siguiente ejemplo,
El número racional $$\dfrac{1}{2}$$ puede escribirse como $$0,5$$.
Y entonces leemos cero coma cinco en vez de un medio.
Esta expresión es útil si nos estamos refiriendo, por ejemplo a un precio o longitud, donde es necesario hacerse una idea del valor del número racional.
Esta expresión en base decimal no puede ser siempre exacta ya que por ejemplo $$\dfrac{1}{3}=0,33333\ldots$$ y deberíamos escribir infinitos $$3$$, lo que nos llevaría demasiado tiempo. En este caso diremos que el resultado es cero coma tres periódico.
Siempre que digamos periódico nos referiremos a que el número debe ser repetido infinitas veces.
Lo escribimos poniendo una barra encima del número periódico.
En nuestro ejemplo $$\dfrac{1}{3}=0,\widehat{3}$$.
El periodo no tiene porque involucrar todos los números detrás de la coma. El periodo también puede ser un número de más de una cifra. Por ejemplo: $$$\dfrac{1}{55}=0,018181818\ldots=0,0\widehat{18}$$$
En este caso el periodo es $$18$$ y el cero no pertenece a él. Deberíamos leer cero coma cero con dieciocho periódico.
Dado un número con periodo podemos recuperar la expresión como cociente utilizando el siguiente procedimiento.
Sea $$a$$ el número correspondiente a quitar la coma de la expresión y quitar todos los números del periodo. Sea $$b$$ el número correspondiente a añadir por la derecha los dígitos del periodo al número $$a$$. Pongamos también que la parte decimal no correspondiente al periodo tiene $$m$$ cifras y el periodo tenga $$n$$ cifras. Entonces nuestra expresión decimal corresponde al cociente de $$b-a$$ por el número con $$n$$ nueves seguido de $$m$$ ceros.
Es más sencillo ver algunos ejemplos. Vemos como las expresiones dadas en los ejemplos anteriores corresponden al número racional.
Para la expresión $$0,\widehat{3}$$, según nuestra notación: $$a=0,b=3,m=0$$ y $$n=1$$. Y corresponde al cociente
$$$\dfrac{b-a}{9}=\dfrac{3-0}{9}=\dfrac{1}{3}$$$
como ya sabíamos.
Para la expresión $$0,0\widehat{18}$$, según nuestra notación: $$a=0,b=018,m=1$$ y $$n=2$$. Y corresponde al cociente
$$$\dfrac{b-a}{990}=\dfrac{18-0}{990}=\dfrac{1}{55}$$$
como ya sabíamos.
Para la expresión $$0,12\widehat{34}$$, según nuestra notación: $$a=12,b=1234,m=2$$ y $$n=2$$. Y corresponde al cociente
$$$\dfrac{b-a}{9900}=\dfrac{1234-12}{9900}=\dfrac{611}{4950}$$$
Podemos comprobar que la expresión decimal corresponde a la expresión inicial.
Por tanto, podemos pensar los números racionales a través de su expresión decimal. Y esta expresión decimal no es mas que una secuencia de dígitos. Hemos visto que los numero racionales corresponden con las secuencias de dígitos que acaban siendo periódicas.