Definición
Para definir los números racionales empezamos definiendo los números naturales. Los números naturales son $$$1,2,3,4,5,\ldots$$$
Formalmente los números naturales son aquellos que se pueden escribir como suma de unos.
Por ejemplo, el número $$5$$ es natural ya que $$5=1+1+1+1+1.$$
Al conjunto de números naturales lo escribimos como $$\mathbb{N}$$.
El formalismo presentado puede resultar interesante en un contexto donde se precise rigurosidad en las definiciones. En nuestro contexto dejaremos de banda este formalismo para centrarnos en el punto de vista mas intuitivo.
Los números naturales permiten definir la suma de dos números de manera "natural". También podemos pensar en la resta como una operación natural, pero es fácil observar como la resta de dos números naturales no tiene porque ser natural.
Por ejemplo $$3-5$$ no es un número natural.
Para poder definir la resta de números naturales definimos los números enteros, que consisten en añadir a los números naturales los números necesarios para poder definir la resta.
Como es conocido, los números enteros son $$$\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$$$
Es decir, los números naturales son los enteros con signo positivo. El conjunto de números enteros lo escribimos $$\mathbb{Z}$$. Según estas notaciones tenemos $$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$$.
Los números enteros disponen de otra operación. No es otra que la multiplicación usual. El producto de números enteros es otro número entero.
Podríamos ahora definir la división de números enteros. Esto no es posible siempre ya que la división de números enteros no tiene porque ser entero. Por ejemplo $$\dfrac{1}{2}$$ no es entero.
Para poder definir la división de números enteros es necesario considerar los números racionales.
Los números racionales consisten en el cociente de números enteros, donde dos números racionales son iguales si el producto cruzado es igual.
Es decir, $$\dfrac{a}{b}$$ es igual a $$\dfrac{c}{d}$$ si $$ad=cb$$.
En la definición anterior se requiere que tanto $$b$$ como $$d$$ sean no nulos, para que el número racional esté definido.
El número entero $$n$$ se asocia al racional $$\dfrac{n}{1}$$.
Esta última expresión no se utiliza si no es necesaria, escribiendo solo $$n$$. El conjunto de números racionales se denota por $$\mathbb{Q}$$. Según el comentario anterior tenemos $$\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}.$$
Vemos como las operaciones de suma y resta definidas para enteros se pueden extender a los números racionales.
$$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$$$ $$$\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}$$$
Las operaciones de multiplicación y división se realizan según esta regla:
$$$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$$$ $$$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bc}$$$