Las operaciones de suma y multiplicación tiene las siguientes propiedades.
Para la suma:
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Propiedad asociativa de la suma: dados tres números racionales cualesquiera $$a,b$$ y $$c$$, se cumple: $$$a+(b+c)=(a+b)+c$$$
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Propiedad conmutativa: para todo par de números racionales $$a$$ y $$b$$ se cumple: $$$a+b=b+a$$$
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Elemento neutro: existe un número racional, el $$0$$, que sumado a cualquier otro número real $$a$$, da $$a$$ como resultado: $$$a+0=a$$$
- Elemento opuesto: para todo número racional $$a$$ existe otro número racional, que denotamos $$-a$$, que al sumarlos nos dan el neutro $$0$$ como resultado. Llamamos a $$-a$$ elemento opuesto de $$a$$.
Todas estas propiedades, se resumen diciendo que el conjunto $$\mathbb{Q}$$ es un grupo conmutativo o grupo abeliano con la operación $$+$$.
Para la multiplicación:
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Propiedad asociativa: dados tres números racionales cualesquiera $$a,b$$ y $$c$$, se cumple: $$$a\cdot(b\cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$$$
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Propiedad conmutativa: Para todo par de números racionales $$a$$ y $$b$$ se cumple: $$$a \cdot b=b \cdot a$$$
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Elemento unidad: existe un número racional, el $$1$$, que multiplicarlo a cualquier otro número real $$a$$, da $$a$$ como resultado: $$$1 \cdot a=a$$$
- Elemento inverso: para todo número racional $$a$$ existe otro número real, que denotamos $$a^{-1}$$, o bien $$\dfrac{1}{a}$$, que al multiplicarlos nos dan la unidad $$1$$ como resultado.
Observemos que todas estas propiedades, también nos definen el conjunto de números racionales como un grupo abeliano con la operación $$\cdot$$.
Existe también una última propiedad que relaciona la suma y el producto de números racionales:
- Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: dados tres números racionales cualesquiera $$a,b$$ y $$c$$, se cumple que: $$$a\cdot (b+c)=a\cdot b + a \cdot c$$$ Esta propiedad, junto con todas las de la suma y todas las del producto definen a los números racionales como una estructura que denominamos cuerpo conmutativo con unidad.