Expressió decimal de números racionals

Tot nombre racional es pot expressar en base decimal. Aquesta expressió és, per dir-ho col·loquialment, el que la majoria de gent entén per un número amb coma.

Vegem què volem dir amb el següent exemple:

El nombre racional $$\dfrac{1}{2}$$ es pot escriure com $$0,5$$.

I llavors llegim zero coma cinc en lloc d'un mig.

Aquesta expressió és útil si ens estem referint, per exemple a un preu o longitud, on cal fer-se una idea del valor del nombre racional.

Aquesta expressió en base decimal no pot ser sempre acurada perquè per exemple $$\dfrac{1}{3}=0,33333\ldots$$ i hauríem d'escriure infinits $$3$$, el que ens portaria massa temps. En aquest cas direm que el resultat és zero coma tres periòdic.

Sempre que diguem periòdic ens referirem a que el nombre ha de ser repetit infinites vegades.

L'escrivim posant una barra damunt del nombre periòdic.

En el nostre exemple $$\dfrac{1}{3}=0,\widehat{3}$$.

El període no té per què involucrar tots els números darrere de la coma. El període també pot ser un nombre de més d'una xifra. Per exemple: $$$\dfrac{1}{55}=0,018181818\ldots=0,0\widehat{18}$$$

En aquest cas el període és $$18$$ i el zero no pertany a ell. Hauríem de llegir zero coma zero amb divuit periòdic.

Donat un número amb període podem recuperar l'expressió com a quocient utilitzant el següent procediment.

Sigui $$a$$ el número corresponent a treure la coma de l'expressió i treure tots els números del període. Sigui $$b$$ el número corresponent a afegir per la dreta els dígits del període al nombre $$a$$. Posem també que la part decimal no corresponent al període té $$m$$ xifres i el període tingui $$n$$ xifres. Llavors la nostra expressió decimal correspon al quocient de $$b-a$$ pel nombre amb $$n$$ nous seguit de $$m$$ zeros.

És més senzill veure alguns exemples. Veiem com les expressions donades en els exemples anteriors corresponen al nombre racional.

Per a l'expressió $$0,\widehat{3}$$, segons la nostra notació: $$a=0,b=3,m=0$$ i $$n=1$$. I correspon al quocient

$$$\dfrac{b-a}{9}=\dfrac{3-0}{9}=\dfrac{1}{3}$$$

com ja sabíem.

Per a l'expressió $$0,0\widehat{18}$$, segons la nostra notació: $$a=0,b=018,m=1$$ i $$n=2$$. I correspon al quocient

$$$\dfrac{b-a}{990}=\dfrac{18-0}{990}=\dfrac{1}{55}$$$

com ja sabíem.

Per a l'expressió $$0,12\widehat{34}$$, segons la nostra notació: $$a=12,b=1234,m=2$$ i $$n=2$$. I correspon al quocient

$$$\dfrac{b-a}{9900}=\dfrac{1234-12}{9900}=\dfrac{611}{4950}$$$

Podem comprovar que l'expressió decimal correspon a l'expressió inicial.

Per tant, podem pensar els nombres racionals a través de la seva expressió decimal. I aquesta expressió decimal no és més que una seqüència de dígits. Hem vist que els nombre racionals corresponen amb les seqüències de dígits que acaben sent periòdiques.