Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas, $$r$$ y $$s$$, es la mínima distancia entre un punto cualquiera de $$r$$ y un punto cualquiera de $$s$$.

• Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es, evidentemente, cero. Es decir, $$d (r, s) = 0$$.
• Si las rectas son paralelas, la distancia entre $$r$$ y $$s$$ es la distancia de un punto de cualquiera de las dos rectas a la otra.

Para encontrar la expresión analítica de la distancia de $$r$$ a $$s$$, supondremos que tenemos $$r: Ax + By + C = 0$$ y $$s: Ax + By + C' = 0$$. Como las rectas han de tener vectores directores paralelos, en particular podemos suponer que tienen el mismo y por eso $$A = A'$$ y $$B = B'$$.

Como las rectas no pueden ser coincidentes evidentemente tendremos $$C\neq C'$$.

Sea ahora $$P =(p_1,p_2)$$ un punto perteneciente a la recta $$r$$. Entonces tenemos: $$$\displaystyle d(r,s)=d(P,s)=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C'|}{\sqrt{A^2+b^2}}$$$ Pero como $$P$$ pertenece a la recta $$r$$ se tiene $$$A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0 \Leftarrow A\cdot a_1+B\cdot a_2=-C$$$ sustituyendo, $$$d(r,s)=d(P,S)=\displaystyle \frac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$$