Distancia entre un punto y una recta

La distancia entre un punto $$P$$ y una recta $$r$$, es el mínimo de las distancias entre $$P$$ y un punto cualquiera de la recta.

Podemos distinguir dos casos:

• Si $$P$$ pertenece a la recta $$r$$, $$d (P, r) = 0$$.
• Si $$P$$ no pertenece a la recta $$r$$, $$d (P, r)$$ es el módulo del vector $$\overrightarrow{QP}$$, donde $$Q$$ es el punto de intersección entre la recta $$r$$ y la perpendicular a $$r$$ que pasa por $$P$$.

Sea $$Ax + By + C = 0$$ la ecuación general de la recta $$r$$, $$P =(p_1,p_2)$$ el punto dado y $$A =(a_1,a_2)$$ un punto cualquiera de la recta.

Si tomamos un vector perpendicular a $$r$$, por ejemplo $$\overrightarrow{n} = (A, B)$$ por las propiedades del producto escalar en la proyección de vectores tenemos: $$$\displaystyle d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{n}|}{\overrightarrow{n}}=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2-(A\cdot a_1+B\cdot a_2)|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$$ Pero como $$A = (a_1,a_2)$$ es un punto de la recta $$r$$, tenemos que verificar su ecuación: $$$A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0 \leftarrow A\cdot a_1+B\cdot a_2=C$$$ Por tanto obtenemos la siguiente fórmula: $$$d(P,r)=\displaystyle \frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$$