Dada la recta $$r:-3x+4y-1=0$$, encontrad las rectas $$s$$ paralelas a $$r$$ y situadas a una distancia de $$10$$ de $$r$$.
Desarrollo:
De entrada, es obvio que tendremos dos rectas paralelas a $$r$$ y a una distancia de $$10$$. Una estará situada a un lado de $$r$$ y la otra al otro.
Si las rectas buscadas son de la forma $$Ax + By + C = 0$$, la condición de paralelismo con $$r$$ nos impone que $$A =-3$$ y $$B = 4$$. Así tenemos, $$$-3x + 4y + C = 0$$$
Si ahora imponemos la condición de distancia, es decir, $$d(r,s)=10$$, tenemos: $$$d(r,s)=10=\dfrac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\dfrac{|C'-(-1)|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\dfrac{|C'+1|}{\sqrt{25}}=\dfrac{|C'+1|}{5}$$$ $$$|C'+1|=50$$$ De donde tenemos 2 soluciones debido a la presencia del valor absoluto: $$$C'+1=50 \rightarrow C' = 49$$$ $$$C' + 1 = - 50 \rightarrow C' =-51$$$ Así, las rectas $$s$$ buscadas son: $$$s:-3x + 4y + 49 = 0$$$ $$$s':-3x + 4y - 51 = 0$$$
Solución:
$$s:-3x + 4y + 49 = 0$$
$$s':-3x + 4y - 51 = 0$$