Definición, expresión analítica y propiedades del producto escalar

El producto escalar entre dos vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$, que se representa como $$\vec{u}\cdot\vec{v}$$, es un número real que se obtiene multiplicando el módulo de $$\vec{u}$$ por el módulo de $$\vec{v}$$ y por el coseno del ángulo que forman $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$. $$$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$$$

De la definición de producto escalar se deduce que:

  • Si $$\vec{u}=\vec{0}$$ o $$\vec{v}=\vec{0}$$, entonces $$\vec{u}\cdot\vec{v}= 0$$.
  • Si los vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ son perpendiculares entre ellos, $$\cos(\widehat{uv})=\cos(90^\circ)=0$$, de manera que $$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$$.

Si $$\vec{u}=(0,2)$$, $$\vec{v}=(3,3)$$ y $$\widehat{uv}={45^\circ}$$:

$$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(45^\circ)= 2\cdot\sqrt{18}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{36}=6$$

Si $$|\vec{u}|=3$$, $$|\vec{v}|=2$$ y además $$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$$. ¿Qué ángulo forman $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$?

Puesto que la fórmula del producto escalar es $$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$$, sustituyendo los datos que nos da el enunciado, obtenemos que: $$$\cos(\widehat{uv})=0 \Rightarrow \widehat{uv}=90^\circ $$$

Estos dos vectores son perpendiculares.

Expresión analítica del producto escalar:

Dados $$\vec{u}=(u_1,u_2)$$ y $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$, su producto escalar se puede escribir como: $$$\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1+u_2 v_2$$$

Si $$\vec{u}=(3,1)$$ y $$\vec{v}=(2,-1)$$, entonces: $$$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+1\cdot(-1)=6-1=5$$$

Propiedades del producto escalar

  1. El producto escalar de un vector por él mismo es un número real mayor o igual a zero: $$ \vec{u}\cdot\vec{u} \geqslant 0$$. Si $$\vec{u}\cdot\vec{u}=0$$, entonces $$\vec{u}=\vec{0}$$.
  2. El producto escalar es conmutativo: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= \vec{v}\cdot\vec{u}$$. Dado que si el ángulo que forma $$\vec{u}$$ con $$\vec{v}$$ es $$\alpha$$, el ángulo que forma $$\vec{v}$$ con $$\vec{u}$$ es $$-\alpha$$, y sabemos que $$\cos(-\alpha)=cos(\alpha)$$.
  3. El producto escalar es pseudoasociativo: $$\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})= (\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})$$ donde $$\alpha$$ es un número real.
  4. El producto escalar es distributivo respecto la suma de vectores: $$\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$$.