Ejercicios de Definición, expresión analítica y propiedades del producto escalar

Desarrollo:

Queremos hallar un vector $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$ tal que $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=0$$, ya que es la condición de perpendicularidad que conocemos. Por lo tanto, tenemos: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot v_1+(-4)\cdot v_2=0 \Rightarrow v_1=-2v_2$$$

De manera que cualquier vector que su primera componente sea el doble de la segunda componente en negativo servirá. Por ejemplo $$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-2,1)$$. Dando cualquier valor a $$v_1$$ obtenemos $$v_2$$. Otros ejemplos serían:

$$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-4,2)$$

$$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-6,3)$$

$$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-1,\dfrac{1}{2})$$

Solución:

Cualquier vector que su primera componente sea el doble de la segunda componente en negativo servirá.

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Desarrollo:

Usamos la expresión analítica del producto escalar: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2$$.

• $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2= 1\cdot3+(-2)\cdot 2=-1$$
• $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=1\cdot0+0\cdot(-2)=0$$
• $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=(-1)\cdot3+2\cdot0=-3$$

Solución:

• $$\vec{u}\cdot\vec{v}=-1$$
• $$\vec{u}\cdot\vec{v}= 0$$
• $$\vec{u}\cdot\vec{v}= -3$$

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Desarrollo:

Usamos la definición del producto escalar: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$$

• En este caso si $$|\vec{u}|=3$$, $$|\vec{v}|=2$$ y $$\text{ang}(\widehat{uv})=60^\circ$$ el coseno de $$60^\circ$$ es $$\dfrac{1}{2}$$. Así pues, $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=3\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}=3$$$
• En este caso si $$|\vec{u}|=5$$, $$|\vec{v}|=2$$ y $$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{1}{2}$$ ya nos dan el coseno directamente así que tenemos: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=5\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}=5$$$
• En este caso si $$|\vec{u}|=1$$, $$|\vec{v}|=3$$ y $$\text{ang}(\widehat{uv})=30^\circ$$ el coseno de $$30^\circ$$ es $$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$. Así, $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=1\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$$

Solución:

• $$ \vec{u}\cdot\vec{v}= 3$$
• $$ \vec{u}\cdot\vec{v}=5$$
• $$ \vec{u}\cdot\vec{v}= 3\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

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