Aplicaciones del producto escalar

Módulo de un vector.

El producto escalar se puede usar para determinar el módulo de un vector $$\vec{u}$$. Ya que: $$$\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}||\vec{u}|\cos(\widehat{uu})=|\vec{u}|^2$$$

de donde: $$\vec{u}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}$$

De manera que obtenemos, usando las coordenadas del vector $$\vec{u}=(u_1,u_2)$$, $$$ \vec{u}=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$$

Ángulo entre dos vectores.

De la definición del producto escalar $$\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}||\vec{u}|\cos(\widehat{uu})$$ podemos despejar el coseno del ángulo que forman los dos vectores: $$$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$$

Aplicando la función arcoseno a cada lado de la igualdad obtenemos (ang = ángulo): $$$ \text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\arccos\Big(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\Big)$$$

De manera que si tenemos dos vectores mediante sus coordenadas $$\vec{u}=(u_1,u_2)$$ y $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$ tenemos que:

$$$ \text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\text{ang}(\vec{v},\vec{u})=\arccos\Big(\dfrac{u_1 v_1+u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\Big)$$$