Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

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En el dibujo, $$OA'$$ es la proyección del vector $$\vec{u}$$ sobre $$\vec{v}$$. Si nos fijamos en el triángulo $$OAA'$$ y aplicamos la fórmula del coseno, obtenemos:

$$$\cos(\alpha)=\dfrac{OA'}{|\vec{u}|} \Rightarrow |OA'| = |\vec{u}|\cdot \cos(\alpha) $$$

Finalmente, aplicando a la fórmula del producto escalar lo que hemos encontrado obtenemos: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\alpha)=|\vec{u}|\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u})$$$

Encontrar la proyección del vector $$\vec{u}=(2,3)$$ sobre el $$\vec{v}=(-1,4)$$. $$$ \text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}= \dfrac{2\cdot (-1)+3\cdot 4}{\sqrt{(-1)^2+4^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{17}}$$$