Es sorteja una entrada per a un parc d'atraccions entre els $$80$$ membres d'un club. D'aquests, $$12$$ són rossos, $$17$$ porten ulleres, i $$4$$ són rossos i porten ulleres.
1) Calcula la probabilitat que li toqui l'entrada a algú que no sigui ros i no porti ulleres.
2) Si a qui li toca és ros, quina és la probabilitat que no porti ulleres?
Desenvolupament:
1) Primer, vam crear una taula de contingència per a representar les dades. Tenim dos successos, $$R =$$ "ser ros" i $$G =$$ "portar ulleres".
Posem en primer lloc les dades de l'enunciat.
| Ulleres | Sense ulleres | Total $$G,\overline{G}$$ | |
| Ros | 4 | 12 | |
| No ros | |||
| Total $$R,\overline{R}$$ | 17 | 80 |
Ara l'anem completant. Sabem que hi ha en total $$12$$ rossos, i tan sols $$4$$ porten ulleres. Per tant, el nombre de rossos que no porten ulleres serà $$12-4 = 8$$. A més, en total hi ha $$17$$ que porten ulleres, i només $$4$$ són rossos i porten ulleres, per la qual cosa $$17-4 = 13$$ no són rossos i porten ulleres.
D'altra banda, al club hi ha un total de $$80$$ persones. Per tant, si $$17$$ porten ulleres, $$1980-1917 = 63$$ no porten ulleres. Si $$12$$ persones són rosses, llavors $$80-12 = 68$$ persones no ho són.
Introduïm totes aquestes dades a la taula de contingència.
| Ulleres | Sense ulleres | Total $$G,\overline{G}$$ | |
| Ros | 4 | 8 | 12 |
| No ros | 13 | 68 | |
| Total $$R,\overline{R}$$ | 17 | 63 | 80 |
Finalment, si en total hi ha $$63$$ persones que no porten ulleres, i $$8$$ d'aquestes són rosses, llavors $$63-8 = 55$$ són rosses i sense ulleres.
També podríem haver calculat mirant a l'altra direcció: si en total hi ha $$68$$ persones que no són rosses, i $$13$$ d'aquestes porten ulleres, llavors $$68-13 = 55$$ persones no són rosses i no porten ulleres.
Així doncs, ja tenim la nostra taula de contingència completa.
| Ulleres | Sense ulleres | Total $$G,\overline{G}$$ | |
| Ros | 4 | 8 | 12 |
| No ros | 13 | 55 | 68 |
| Total $$R,\overline{R}$$ | 17 | 63 | 80 |
Amb la taula, ja podem respondre la pregunta.
La probabilitat que ens demanen és $$P(\overline{R}\cap\overline{G})=\dfrac{55}{80}$$, per la llei de Laplace, ja que hi ha $$55$$ persones amb aquestes característiques d'entre el total de $$80$$ (i a totes és igual de probable que els toqui).
2) El calcularem amb la fórmula de les probabilitats condicionades. Volem calcular $$P(R/\overline{G})=\dfrac{P(R\cap\overline{G})}{P(\overline{G})}$$. Mirant les dades a la taula, $$$P(R\cap\overline{G})=\dfrac{8}{80}$$$ i $$$P(\overline{G})=\dfrac{63}{80}$$$ Per tant $$$P(R/\overline{G})=\dfrac{\dfrac{8}{80}}{\dfrac{63}{80}}=\dfrac{8}{63}$$$
Si ens fixem, com volem calcular la probabilitat que no porti Ulleres, mirem la columna "sense Ulleres" (vertical). En aquesta columna, $$8$$ són rossos d'un total de $$63$$, de manera que la probabilitat és $$\dfrac{8}{63}$$, de nou.
Solució:
1) $$P(\overline{R}\cap\overline{G})=\dfrac{55}{80}$$
2) $$P(R/\overline{G})=\dfrac{8}{63}$$