Se sortea una entrada para un parque de atracciones entre los $$80$$ miembros de un club. De ellos, $$12$$ son rubios, $$17$$ llevan gafas, y $$4$$ son rubios y llevan gafas.
1) Calcula la probabilidad de que le toque la entrada a alguien que no sea rubio y no lleve gafas.
2) Si al que le toca es rubio, ¿cuál es la probabilidad de que no lleve gafas?
Desarrollo:
1) Primero, creamos una tabla de contingencia para representar los datos. Tenemos dos sucesos, $$R =$$"ser rubio" y $$G =$$"llevar gafas".
Ponemos en primer lugar los datos del enunciado.
| Gafas | Sin gafas | Total $$G,\overline{G}$$ | |
| Rubio | 4 | 12 | |
| No rubio | |||
| Total $$R,\overline{R}$$ | 17 | 80 |
Ahora la vamos completando. Sabemos que hay en total $$12$$ rubios, y tan sólo $$4$$ llevan gafas. Por lo tanto, el número de rubios que no llevan gafas será $$12-4=8$$. Además, en total hay $$17$$ que llevan gafas, y tan sólo $$4$$ son rubios y llevan gafas, por lo que $$17-4 = 13$$ no son rubios y llevan gafas.
Por otro lado, en el club hay un total de $$80$$ personas. Por lo tanto, si $$17$$ llevan gafas, $$80-17=63$$ no llevan gafas. Si $$12$$ personas son rubias, entonces $$80-12=68$$ personas no lo son.
Introducimos todos estos datos en la tabla de contingencia.
| Gafas | Sin gafas | Total $$G,\overline{G}$$ | |
| Rubio | 4 | 8 | 12 |
| No rubio | 13 | 68 | |
| Total $$R,\overline{R}$$ | 17 | 63 | 80 |
Finalmente, si en total hay $$63$$ personas que no llevan gafas, y $$8$$ de éstas son rubias, entonces $$63-8=55$$ son rubias y sin gafas.
También podríamos haberlo calculado mirando en la otra dirección: si en total hay $$68$$ personas que no son rubias, y $$13$$ de éstas llevan gafas, entonces $$68-13=55$$ personas no son rubias y no llevan gafas.
Así pues, ya tenemos nuestra tabla de contingencia completa.
| Gafas | Sin gafas | Total $$G,\overline{G}$$ | |
| Rubio | 4 | 8 | 12 |
| No rubio | 13 | 55 | 68 |
| Total $$R,\overline{R}$$ | 17 | 63 | 80 |
Con la tabla, ya podemos responder la pregunta.
La probabilidad que nos piden es $$P(\overline{R}\cap\overline{G})=\dfrac{55}{80}$$, por la ley de Laplace, ya que hay $$55$$ personas con estas características de entre el total de $$80$$ (y a todas es igual de probable que les toque).
2) Lo calcularemos con la fórmula de las probabilidades condicionadas. Queremos calcular $$P(R/\overline{G})=\dfrac{P(R\cap\overline{G})}{P(\overline{G})}$$. Mirando los datos en la tabla, $$$P(R\cap\overline{G})=\dfrac{8}{80}$$$ y $$$P(\overline{G})=\dfrac{63}{80}$$$ Por lo tanto $$$P(R/\overline{G})=\dfrac{\dfrac{8}{80}}{\dfrac{63}{80}}=\dfrac{8}{63}$$$
Si nos fijamos, como queremos calcular la probabilidad de que no lleve gafas, miramos la columna "sin gafas" (vertical). En esta columna, $$8$$ son rubios de un total de $$63$$, por lo que la probabilidad es $$\dfrac{8}{63}$$, de nuevo.
Solución:
1) $$P(\overline{R}\cap\overline{G})=\dfrac{55}{80}$$
2) $$P(R/\overline{G})=\dfrac{8}{63}$$