Suma
En el conjunt de les funcions reals de variable real podem definir diverses operacions.
La funció suma $$f + g$$ és una funció que assigna a cada nombre real $$x$$ la suma de les imatges per la funció $$f$$ i per la funció $$g$$: $$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$$
La funció suma està definida quan $$x$$ pertany simultàniament al domini de $$f$$ i de $$g$$: $$$Dom(f+g)=Dom(f)\cap Dom(g)$$$
Donades les funcions $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$$ i $$g(x)=x-2$$ calcula $$(f + g) (x)$$.
$$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\displaystyle \frac{1}{x}+x-2=\frac{x^2-2x+1}{x}$$$ Per tant, $$$\displaystyle (f+g)(x)=\frac{x^2-2x+1}{x}$$$
Diferència
La funció diferència $$f-g$$ és una funció que assigna a cada nombre real $$x$$ la diferència de les imatges per la funció $$f$$ i per la funció $$g$$. $$$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$$$
La funció diferència està definida quan $$x$$ pertany simultàniament al domini de $$f$$ i de $$g$$: $$$Dom(f-g)=Dom(f)\cup Dom(g)$$$
Donades les funcions $$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$$ i $$g(x)=x-2$$ calcula $$(f - g) (x)$$.
$$$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\displaystyle \frac{1}{x}-(x-2)=\frac{-x^2+2x+1}{x}$$$ Per tant, $$$(f-g)(x)=\displaystyle \frac{-x^2+2x+1}{x}$$$
Producte
La funció producte $$f \cdot g$$ és una funció que assigna a cada nombre real $$x$$ el producte de les imatges per la funció $$f$$ i per la funció $$g$$. $$$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$$$
La funció producte està definida quan $$x$$ pertany simultàniament al domini de $$f$$ i de $$g$$: $$$Dom(f\cdot g)=Dom(f) \cap Dom(g)$$$
Donades les funcions $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$$ i $$g(x)=x-2$$ calcula $$(f \cdot g) (x)$$.
$$$(f \cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\frac{1}{x}\cdot (x-2)=\frac{x-2}{x}$$$ Per tant, $$$\displaystyle (f \cdot g)(x)=\frac{x-2}{x}$$$
Divisió
La funció quocient $$\displaystyle \frac{f}{g}$$ és una funció que assigna a cada nombre real $$x$$ el quocient de les imatges per la funció $$f$$ i per la funció $$g$$. $$$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$$
La funció quocient està definida quan $$x$$ pertany simultàniament al domini de $$f$$ i de $$g$$, i a més es compleix que $$g(x)\neq 0$$. És a dir: $$$\displaystyle Dom\Big(\frac{f}{g}\Big)=Dom(f) \cap Dom(g)-\{x \in \mathbb{R} \mid g(x)=0\}$$$
Donades les funcions $$f(x)=x^2+3$$ i $$g(x)=x^2+1$$ calcula $$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}(x)\Big)$$:
$$$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2+3}{x^2+1}$$$ Per tant, $$$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1}$$$