Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica.
Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:
- $$a^0=1$$ para cualquier $$a$$.
- Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir: $$$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$$
- Para cualquier $$a \neq 0$$ y $$a\neq 1$$ se tiene que: $$$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$$
Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.
Cuando la ecuación exponencial a resolver es del tipo $$a^{f(x)}=b$$ entonces se puede resolver por logaritmación de ambos lados si ambos miembros son positivos. Es decir, simplemente se aplican las propiedades del logaritmo para encontrar cuanto vale $$f(x)$$.
$$$\displaystyle 2^{x+1}=6^\frac{3x}{2}$$$
Aplicando logaritmos:
$$$\displaystyle \log_2(2^{x+1})=\log_2 \Big(6^\frac{3x}{2}\Big)$$$
Ahora mediante las propiedades del logaritmo,
$$$\displaystyle \log_2(2^{x+1})=\displaystyle \log_2 \Big(6^{\frac{3x}{2}}\Big) \Rightarrow \log_2(2)^{x+1}=\log_2(6)^{\frac{3x}{2}} \Rightarrow (x+1)\log_22=\frac{3x}{2}\log_26$$$
$$$\Rightarrow (x+1)=\frac{3x}{2} \log_26$$$
Hemos pues convertido la ecuación exponencial en una ecuación de primer grado que sabemos resolver. Esto es, aislando la $$x$$ obtenemos:
$$$(x+1)=\frac{3x}{2}\log_26 \Rightarrow x-\frac{3 \cdot \log_2 6}{2}x=-1 \Rightarrow x\Big(1-\frac{3 \cdot \log_2 6}{2}\Big)=-1\Rightarrow$$$
$$$x=\frac{-2}{2-3\cdot \log_2 6}$$$
$$$\displaystyle 5^{2x-1}=7^{3-x} \Rightarrow 2x-1=\log_5(7^{3-x})=(3-x)\log_5 7 \Rightarrow x=\frac{3\log_5 7+1}{2+\log_5 7}$$$