Vegem com queda l'expressió per al càlcul de la potència enèsima d'un nombre complex que ve expressat en forma trigonomètrica. Considerem el producte de $$n$$ nombres complexos en forma trigonomètrica:
$$$\big( |z|\cdot[\cos(\alpha)+i \cdot\sin(\alpha)] \big)^n=$$$
$$$= \big( |z|\cdot[\cos(\alpha)+i \cdot\sin(\alpha)] \big) \stackrel{(n)}{\cdots} \big( |z|\cdot[\cos(\alpha)+i \cdot\sin(\alpha)] \big)=$$$
$$$=|z|^n \cdot[\cos(n\alpha)+i \cdot\sin(n\alpha)]$$$ Aquesta fórmula ens dóna la potència enèsima d'un complex en forma trigonomètrica i va ser donada per Moivre.
Vegem un exemple: $$$ \displaystyle \begin{array}{rl} \big( 5\cdot[\cos(60^\circ)+i \cdot\sin(60^\circ)] \big)^3 =& 5^3 \cdot[\cos(3\cdot60^\circ)+i \cdot\sin(3\cdot60^\circ)] \\ =& 125 \cdot[\cos(180^\circ)+i \cdot\sin(180^\circ)] \end{array} $$$
Un cop se sap treballar la potenciació, es pot continuar amb la radicació.
Donat un nombre complex, tot altre nombre complex que elevat a la potència enèsima doni un resultat igual al primer, es diu que és una arrel enèsima d'aquest.
Vegem que donat un nombre complex qualsevol amb mòdul $$R$$ i argument $$\phi$$ sempre té arrels enèsimes, i precisament en té $$n$$.
En virtut de la definició, la condició perquè $$|z|\cdot[\cos(\alpha)+i \cdot\sin(\alpha)]$$ sigui una arrel enèsima és: $$$ \big( |z|\cdot[\cos(\alpha)+i \cdot\sin(\alpha)] \big)^n = R\cdot [\cos(\phi)+i \cdot\sin(\phi)]$$$
Llavors, els dos nombres representats pel primer i segon membre d'aquesta igualtat han de ser iguals, per tant, hauran de tenir el mateix mòdul i els seus arguments hauran de diferir en un nombre exacte de circumferències, és a dir:
$$$ |z|^n=R \quad \text{ i } \quad n\alpha=\phi+k\cdot 360^\circ$$$
El mòdul $$|z|$$ de l'arrel buscada queda perfectament determinat per la primera d'aquestes equacions, ja que ha de ser un nombre positiu amb potència enèsima igual a $$R$$, així: $$$|z|=\sqrt[n]{R}$$$ Es té, doncs, que $$|z|$$ és l'arrel enèsima aritmètica de $$R$$.
Pel que fa a l'argument $$\alpha$$, la segona equació ens dóna: $$$\alpha=\dfrac{\phi}{n}+\dfrac{k\cdot 360^\circ}{n}$$$
A primera vista podria semblar que $$\alpha$$ té infinits valors, però en realitat per $$k = 0$$ fins $$k = n-1$$ obtindrem $$n$$ arguments diferents, i a partir dels següents $$k$$ obtindrem els mateixos nombres complexos que ja havíem trobat, ja que seran els mateixos però amb algunes voltes senceres més.
En resum, tot nombre complex no nul $$R\cdot [\cos(\phi)+i \cdot\sin(\phi)]$$ té $$n$$ arrels enèsimes diferents, el mòdul és el mateix per totes (és igual a l'arrel enèsima aritmètica del mòdul $$R$$) i els arguments (llevat múltiples de $$360^\circ$$) són:
$$$ \dfrac{\phi}{n}, \ \dfrac{\phi+360^\circ}{n}, \ \dfrac{\phi+2\cdot 360^\circ}{n}, \ \dfrac{\phi+3\cdot 360^\circ}{n}, \ \dots \ , \ \dfrac{\phi+(n-1)\cdot 360^\circ}{n}$$$
Calculem les arrels quartes de: $$$4\cdot[\cos(60^\circ)+i \cdot\sin(60^\circ)]$$$ Busquem el mòdul: $$$ |z|^4=4 \ \Rightarrow \ |z|=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$$$ I els arguments seran: $$$ \dfrac{60^\circ}{4}, \ \dfrac{60^\circ+360^\circ}{4}, \ \dfrac{60^\circ+2\cdot 360^\circ}{4}, \ \dfrac{60^\circ+3\cdot 360^\circ}{4}$$$
Com podem comprovar aquest mètode és molt semblant al que utilitzàvem amb la forma polar dels nombres complexos.