Per estudiar la posició relativa de tres plans $$\pi_1(A;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}), \pi_2(A'; \overrightarrow{u'},\overrightarrow{v'})$$ i $$\pi_3(A''; \overrightarrow{u''}, \overrightarrow{v''})$$ expressats per les seves equacions generals:
$$$\begin{array}{rrcl} \pi_1:&A_1x+B_1y+C_1z+D_1&=&0 \\ \pi_2:& A_2x+B_2y+C_2z+D_2&=&0 \\ \pi_3:&A_3x+B_3y+C_3z+D_3&=&0\end{array}$$$
Considerem el sistema format per les tres equacions. Les matrius $$M$$ i $$M'$$ associades al sistema són: $$$M=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{pmatrix}$$$ $$$M'=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1&-D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 &-D_2\\ A_3 & B_3 & C_3&-D_3 \end{pmatrix}$$$
Podem classificar la posició relativa dels plans segons la compatibilitat dels sistemes:
-
Sistema Compatible
-
Sistema Compatible Indeterminat:
-
$$rang (M) = rang (M') = 1$$
Les solucions depenen de dos paràmetres. Els tres plans són coincidents.
-
$$rang (M) = rang (M') = 2$$
Les solucions depenen d'un paràmetre, per tant tenen una recta en comú.
Ara hem de determinar la posició dels plans dos a dos. Tenim 2 opcions:
- Els tres plans són secants en una recta.
- Dos plans coincidents i un pla secant.
-
-
Sistema compatible determinat:
-
$$rang (M) = rang (M') = 3$$
Els plans són secants en un punt.
-
-
Sistema incompatible
-
$$rang (M) = 1$$; $$rang (M') = 2$$
Sistema incompatible: Hi ha plans paral·lels.
A continuació hem de determinar si hi ha plans coincidents.
-
$$rang (M) = 2$$; $$rang (M') = 3$$
Sistema incompatible: Hi ha plans secants.
A continuació s'ha de determinar si també hi ha plans paral·lels.
-
-