La suma de nombres enters
Com que els nombres enters tenen $$+$$ o $$-$$ davant, quan fem les operacions amb ells, els escriurem entre parèntesi per no confondre'ns amb el $$+$$ i el $$-$$ de sumar i restar.
Per exemple, si volem sumar $$+5$$ i $$-6$$ escriurem: $$$(+5)+(-6)$$$ i si es volen restar s'escriu: $$$(+5)-(-6)$$$
El valor absolut d'un nombre enter és simplement el nombre sense cap signe (sense el més o el menys). S'escriu entre dues barres verticals, de la manera següent:
$$|+16|=16$$ (és a dir, el valor absolut de $$+16$$ és $$16$$) $$|-8|=8$$ (és a dir, el valor absolut de $$-8$$ és $$8$$)
Per a sumar dos nombres enters, seguim els passos que descrivim a continuació:
- Si els dos nombres tenen el mateix signe: (és a dir, els dos són positius, o els dos són negatius). Primer es calcula el valor absolut de cada número. Després se sumen els valors absoluts i finalment es posa el signe que tenien abans.
Per exemple, per a realitzar l'operació: $$(+9)+(+5)=$$ se segueixen aquests passos:
- Els dos tenen el mateix signe: (el +).
- Calculem el valor absolut: $$|+9|=9, |+5|=5$$.
- Sumem els valors absoluts: $$9+5=14$$.
- Posem el signe que tenien abans: $$+14$$. Així, doncs: $$(+9)+(+5)=14$$
- Si els dos nombres tenen diferent signe: (és a dir, un és positiu i l'altre negatiu). Primer es calcula el valor absolut de cada número. Després es resten els dos valors absoluts. Finalment es posa el signe del que té el valor absolut més gran.
Per exemple, per a realitzar: $$(-7)+(+2)=$$ se segueixen aquests passos:
- Tenen signe diferent: $$-7$$ és negatiu i $$+2$$ és positiu
- Calculem el valor absolut:$$|-7|=7$$,$$|+2|=2$$.
- Els restem: $$7-2=5$$
- Com el valor absolut de $$-7$$ és més gran que el de $$+2$$ (perquè $$7$$ és més gran que $$2$$), posem signe negatiu al resultat: $$-5$$ Així doncs, el resultat és: $$(-7)+(+2)=-5$$
La resta de nombres enters
L'oposat d'un nombre enter és el mateix nombre, però amb signe contrari. És a dir si té un més, se li posa un menys, i al revés: si tenim un menys, se li posa un més.
Per exemple, l'oposat de $$+4$$ és $$-4$$, i l'oposat de $$-5$$ és $$+5$$.
Per al zero, que és l'únic nombre enter que no té signe, direm que el seu oposat és ell mateix: l'oposat de $$0$$ és $$0$$.
Si es resten dos números, el primer es diu minuend i el segon es diu substrahend.
Per exemple, en la resta: $$(-19)-(+4)$$ el minuend és el $$-19$$, i el substrahend el $$+4$$.
Per a restar dos nombres enters seguirem els següents passos:
- S'identifica el minuend i el substrahend.
- Es calcula l'oposat del substrahend.
- Es suma el minuend i l'oposat del substrahend.
- Aquest és el resultat de la resta.
Producte i quocient de nombres enters
Per a realitzar productes (multiplicacions) de nombres enters es fa de la següent manera:
- Primer es fa la multiplicació o la divisió, sense tenir en compte els signes (és a dir, com en el cas de nombres naturals).
- Per a saber el signe del resultat, seguim la següent taula:
| **Signe** | $$+$$ | $$-$$ |
| $$+$$ | + | - |
| $$-$$ | - | + |
Els quadrats grocs representen el signe dels nombres que estem multiplicant i els blancs el signe del resultat. És a dir, si els dos nombres tenen el mateix signe el resultat tindrà signe positiu, si els dos nombres tenen signe diferent, el resultat tindrà signe negatiu.
Per a fer quocients (divisions), es farà exactament de la mateixa manera i seguint la mateixa taula.
Potència de nombres enters
Una potència és una expressió del tipus: $$(+7)^3$$ Anomenem base al nombre de sota i exponent al nombre petit de dalt.
En l'exemple anterior, l'exponent és $$3$$ i la base és $$+7$$, i es diu que $$+7$$ està elevat a $$3$$.
Les potències serveixen per escriure d'una manera més curta la multiplicació d'un nombre per si mateix.
Si multipliquem $$+3$$ quatre vegades, aleshores s'escriu: $$$(+3)\cdot(+3)\cdot(+3)\cdot(+3)=(+3)^4$$$
L'exponent (el número de dalt) indica quants cops es multiplica la base (el número de sota).
Quan multipliquem dues potències amb la mateixa base, els exponents es sumen.
Per exemple: $$$(-6)^3\cdot(-6)^2=(-6)^{3+2}=(-6)^5$$$
Quan dividim dues potències amb la mateixa base, els exponents es resten.
Per exemple: $$$(+4)^7\cdot(+4)^5=(+4)^{7-5}=(+4)^2$$$
Però es molt important tenir clar que nomès es pot fer quan la base de les potències que multipliquem o dividim és la mateixa.
Quan es fa la potència d'una potència, els exponents es multipliquen:
Per exemple: $$$\big((-6)^2\big)^3=(-6)^{2\cdot3}=(-6)^6$$$
A més a més, si elevem un nombre a $$0$$, el resultat sempre dóna $$1$$:
$$(+13)^0=1$$ $$(-9)^0=1$$
D'altra banda, podem fer potències d'un nombre amb exponent negatiu. En aquest cas, el resultat és $$1$$ dividit per la potència amb l'exponent positiu.
Per exemple: $$$(+14)^{-6}=\dfrac{1}{(+14)^{+6}}$$$