Vegem com treballar el producte de dos complexos que vénen donats en forma polar. Quan es volen multiplicar dos nombres complexos donats en forma polar, es multipliquen els mòduls i se sumen els arguments donant lloc a un nou número complex. De forma general es té:
$$$ \displaystyle \begin{array}{l} z_{1}=|z_{1}|_{\alpha_{1}} \\ z_{2}=|z_{2}|_{\alpha_{2}} \end{array} \left\} \Rightarrow z_{1}\cdot z_{2}=\big( |z_{1}|\cdot |z_{2}| \big)_{\alpha_{1}+\alpha_{2}} \right. $$$
Per exemple, $$$ \displaystyle \begin{array}{l} z_{1}=3_{42^{\circ}} \\ z_{2}=6_{112^{\circ}} \end{array} \left\} \Rightarrow z_{1}\cdot z_{2}=( 3\cdot 6)_{42^{\circ}+112^{\circ}}=18_{154^{\circ}} \right. $$$
$$$ \displaystyle \begin{array}{l} z_{1}=5_{24^{\circ}} \\ z_{2}=4_{90^{\circ}} \end{array} \left\} \Rightarrow z_{1}\cdot z_{2}=( 5\cdot 4)_{24^{\circ}+90^{\circ}}=20_{114^{\circ}} \right. $$$
Com veiem, aquesta forma d'expressar els nombres complexos ens facilita i agilitza moltíssim l'operació de multiplicar dos nombres complexos.
Vegem ara què passa amb el quocient. Si es volen dividir dos nombres complexos donats en forma polar, el procediment a seguir és el següent: d'una banda es divideixen els mòduls i per altra es resten els arguments donant lloc a un nou nombre complex que té per mòdul el quocient de mòduls i com a argument la diferència d'arguments. En general s'escriu com:
$$$ \displaystyle \begin{array}{l} z_{1}=|z_{1}|_{\alpha_{1}} \\ z_{2}=|z_{2}|_{\alpha_{2}} \end{array} \left\} \Rightarrow \frac{z_{1}}{z_{2}}=\Big( \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|} \Big)_{\alpha_{1}-\alpha_{2}} \right. $$$
Per exemple, $$$ \displaystyle \begin{array}{l} z_{1}=14_{89^{\circ}} \\ z_{2}=7_{51^{\circ}} \end{array} \left\} \Rightarrow \frac{z_{1}}{z_{2}}=\Big( \frac{14}{7} \Big)_{89^{\circ}-51^{\circ}} =2_{38^{\circ}} \right. $$$
$$$ \displaystyle \begin{array}{l} z_{1}=35_{354^{\circ}} \\ z_{2}=7_{17^{\circ}} \end{array} \left\} \Rightarrow \frac{z_{1}}{z_{2}}=\Big( \frac{35}{7} \Big)_{354^{\circ}-17^{\circ}} =5_{337^{\circ}} \right. $$$
Tenint en compte el producte de nombres complexos expressats en forma polar que hem vist, anem a deduir com es treballa amb potències de nombres complexos en forma polar.
Ja sabem que una potència a la $$n$$ d'un nombre complex és el mateix que multiplicar el nombre per ell mateix $$n$$ vegades. Com sabem que el producte en forma polar només suposa el producte dels mòduls i la suma dels arguments, es dedueix el següent.
Per trobar la potència d'un nombre complex donat en forma polar simplement s'ha de fer la potència que es demana del mòdul i l'argument, al seu torn, es veu afectat en que se suma ell mateix el nombre de vegades a què elevem la potència.
Així, s'aconsegueix un nou número complex que també està en forma polar. Això en general s'escriu per un nombre complex qualsevol com:
$$$ z=|z|_{\alpha} \ \Rightarrow \ (z)^n = \big(|z|_{\alpha}\big)^n= \big(|z|\stackrel{n}{\cdots} |z|\big)_{\alpha+\stackrel{n}{\dots}+\alpha}= {\big(|z|\big)^{n}}_{n \cdot \alpha}$$$
Per exemple, $$$ z=5_{75^{\circ}} \ \Rightarrow \ (z)^3 = (5_{75^{\circ}})^3= {(5)^3}_{3\cdot75^{\circ}}=125_{225^{\circ}} $$$
Per exemple, $$$ z=2_{30^{\circ}} \ \Rightarrow \ (z)^5= (2_{30^{\circ}})^5= {(2)^5}_{5\cdot30^{\circ}}=32_{150^{\circ}} $$$
L'arrel enèsima d'un complex $$|R|_{\beta}$$ és un nombre complex $$|r|_{\alpha} $$ que compleix que:
$$$\displaystyle \sqrt[n]{|R|_{\beta}}=|r|_{\alpha} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |r|=\sqrt[n]{|R|} \\ \alpha=\frac{\beta+2\pi k}{n} \end{array} \right. $$$
Això és perquè, si observem els mòduls, l'arrel enèsima d'un ha de ser l'altre, i si observem els arguments, la suma $$n$$ vegades d'un ha de ser l'altre (que com ja hem dit anteriorment no queda unívocament determinat i és per això que li podem sumar el factor $$2\pi$$ tantes vegades com vulguem, o també $$360 ^{\circ}$$ que és el mateix que $$2\pi$$).
En general podem escriure això com:
$$$ z=|z|_{\alpha} \ \Rightarrow \ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|_{\alpha}}= \big(\sqrt[n]{|z|}\big)_{\frac{\alpha+360^{\circ}k}{n}}$$$
Per exemple, $$$ z=64_{120^{\circ}} \ \Rightarrow \ \sqrt[2]{z}=\sqrt[2]{64_{120^{\circ}}}= (\sqrt[2]{64})_{\frac{120^{\circ}}{2}}=8_{60^{\circ}+\frac{360^{\circ}k}{2}} $$$
$$$ z=36_{250^{\circ}} \ \Rightarrow \ \sqrt[2]{z}=\sqrt[2]{36_{250^{\circ}}}= (\sqrt[2]{36})_{\frac{250^{\circ}}{2}}=6_{125^{\circ}+\frac{360^{\circ}k}{2}} $$$
Donant valors enters a $$k$$ des de $$0$$ fins a $$n-1$$ obtenim $$n$$ arguments diferents que compleixen la condició que hem imposat. Per $$k$$ major o igual que $$n$$ obtenim arguments que difereixen dels anteriors en un nombre enter de $$360^{\circ}$$ i en conseqüència coincideixen amb algun dels $$n$$ anteriors.
Llavors, anomenarem arrels enèsimes d'un nombre complex $$|R|_{\beta}$$ als $$n$$ nombres complexos que tenen com a mòdul l'arrel enèsima del mòdul i com a argument l'angle $$ \dfrac{\beta+360^{\circ}k}{2}$$.
Aquests són, com hem dit: $$$\sqrt[n]{|R|_{\beta}}= \big(\sqrt[n]{|R|}\big)_{\frac{\beta+360^{\circ}k}{n}}$$$
amb $$k = 0,1,2, \dots, n-1$$.
Llavors per exemple,
$$$ \displaystyle \sqrt[3]{8i}=\sqrt[3]{8_{90^{\circ}}}= \left\{ \begin{array}{l} 2_{\frac{90^{\circ}}{3}}=2_{30^{\circ}} \\ 2_{\frac{90^{\circ}+360^{\circ}}{3}}=2_{150^{\circ}} \\ 2_{\frac{90^{\circ}+360^{\circ}\cdot2}{3}}=2_{270^{\circ}} \end{array} \right. $$$
Aquestes tres són totes les arrels cúbiques del nombre complex quan $$k = 0,1,2$$ respectivament.