Maximització i minimització

Exercicis

Es desitja obtenir tres elements químics a partir de les substàncies A i B. Un quilo d'A conté $$8$$ grams del primer element, $$1$$ gram del segon i $$2$$ del tercer. Un quilo de B té $$4$$ grams del primer element, $$1$$ gram del segon i $$2$$ del tercer. Es desitja obtenir almenys $$16$$ grams del primer element i les quantitats del segon i del tercer han de ser com a molt $$5$$ i $$20$$ grams respectivament, i a més la quantitat d'A és com a molt el doble que la de B.

Calculeu els quilos d'A i els de B que han de prendre's perquè el cost sigui mínim tenint en compte que un quilo d'A val $$20€$$ i un de B $$100€$$.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Variables del problema:

$$x$$: quilos de la substància A.

$$y$$: quilos de la substància B.

Funció objectiu:

S'ha de minimitzar el cost (cost $$=$$ (preu del quilo de la substància A) $$\times$$ (preu del quilo d'A) $$+$$ (preu del quilo de la substància B) $$\times$$ (preu del quilo de B)): $$$C(x,y)=20\cdot x+100\cdot y$$$

Restriccions:

  • $$x\geqslant 0$$, $$y\geqslant 0$$ (el nombre de quilos no pot ser negatiu).

  • $$8x+4y\geqslant 16$$ (com a mínim hem d'aconseguir $$16$$ g de la primera substància).

  • $$x+y\leqslant 5$$ (com a màxim s'han d'obtenir $$5$$ g de la segona substància).

  • $$2\cdot x+2\cdot y\leqslant 20$$ (com a màxim s'han d'obtenir $$20$$ g de la tercera substància).

  • $$x\leqslant 2\cdot y$$ (la quantitat de la substància A és com a molt el doble de la de B).

Vèrtexs de la regió de validesa: (Són els punts de tall entre les rectes associades a les restriccions, que a més compleixen totes les inequacions. Vegeu que la restricció $$2\cdot x+2\cdot y\leqslant 20$$ no aporta informació rellevant, és a dir, no delimita la regió de validesa.)

  • $$(0,4)$$ on tallen les restriccions $$x\geqslant 0$$ i $$8x+4y\geqslant 16$$.

  • $$(0,5)$$ on tallen les restriccions $$x\geqslant 0$$ i $$x+y\leqslant 5$$.

  • $$(\dfrac{10}{3},\dfrac{5}{3})$$ on tallen les restriccions $$x+y\leqslant 5$$ i $$x\leqslant 2\cdot y$$.

  • $$(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5})$$ on tallen les restriccions $$8x+4y\geqslant 16$$ i $$x\leqslant 2\cdot y$$.

Valor de la funció objectiu en els vèrtexs de la zona de validesa:

  • $$C(0,4)=20\cdot 0+100\cdot 4=400$$
  • $$C(0,5)=20\cdot 0+100\cdot 5=500$$
  • $$C(\dfrac{10}{3},\dfrac{5}{3})=20\cdot \dfrac{10}{3}+100\cdot \dfrac{5}{3}=\dfrac{700}{3}\approx 233.33$$
  • $$C(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5})=20\cdot \dfrac{8}{5}+100\cdot \dfrac{4}{5}=\dfrac{560}{5}=112$$

La funció cost pren el seu valor mínim ($$112$$ €) en el punt $$ (\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5}) $$, és a dir, en comprar $$\dfrac{8}{5}$$ de quilo de la substància A i $$\dfrac{4}{5}$$ de quilo de la B.

Solució:

Per aconseguir minimitzar el cost, atenint-nos a les restriccions del problema, s'han de comprar $$\dfrac{8}{5}$$ de quilo de la substància A i $$\dfrac{4}{5}$$ de quilo de la B. En aquest cas el cost seria de $$112$$ €.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria