Interpolació polinòmica: definició

Donats $$n +1$$ punts $$(x_k,f_k)$$ amb $$k\in\{0,1,\dots,n\}\ $$ i $$\ x_k\neq x_i \ $$ si $$\ i\neq k$$, anomenem interpolació polinòmica a determinar un polinomi de grau menor o igual que $$n$$ tal que $$p(x_k)=f_k \ $$ per a tot $$\ k$$.

Aquest polinomi sempre existeix i és únic.

De vegades calcularem el polinomi que interpola un conjunt de dades. Altres vegades, els valors $$f_k$$ correspondran al valor d'una certa funció $$f(x)$$ en els punts $$x_k$$. És a dir, en lloc de treballar amb la pròpia funció ens és més còmode treballar amb un polinomi prou semblant. Però, què hi ha de semblant entre el polinomi interpolador i la funció original? Això ho quantifica l'error d'interpolació:

$$$ \text{error}=|f(x)-P_n(x)|=$$$ $$$=\Big| \dfrac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}(x-x_0)\cdot(x-x_1) \cdots (x-x_n)\Big|$$$

on $$\xi$$ és un punt pertanyent a l'interval generat per tots els punts $$x_k$$.

Val a dir, que la funció ha de ser derivable $$n +1$$ vegades com a mínim.

Com ja hem dit, el polinomi és únic, però hi ha diversos mètodes per calcular-los.