Exercicis de Interpolació d'Hermite

D'una funció sabem que: $$f (0) = 3$$, $$f'(0) = 1$$, $$f(1) = 2$$ i $$f'(1)=-2$$. Calculeu el polinomi d'Hermite que interpola aquests punts.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

En aquest cas tenim $$n+1=2$$ punts, per tant, el grau del polinomi d'Hermite serà $$2n+1 = 3$$. Procedim tal i com hem explicat a escriure en una taula els punts repetint aquells dels quals en coneixem la derivada:

$$0$$ $$3$$      
    $${f'}_0=1$$    
$$0$$ $$3$$   $$\dfrac{-1-1}{1-0}=-2$$  
    $$\dfrac{2-3}{1}=-1$$   $$\dfrac{-1+2}{1-0}=1$$
$$1$$ $$2$$   $$\dfrac{-2+1}{1-0}=-1$$  
    $${f'}_1=-2$$    
$$1$$ $$2$$      

Així, el polinomi s'escriu de la mateixa manera, prenent el primer element de cada columna (començant per la segona).

$$$\begin{array}{rl} P_3(x)=& 3+1(x-0)-2(x-0)^2+1(x-0)^2(x-1)\\ =& 3+x-2x^2+x^3-x^2= x^3-3x^2+x+3 \end{array}$$$

Solució:

$$P_3(x)= x^3-3x^2+x+3 $$

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria