De una función sabemos que: $$f (0) = 3$$, $$f'(0) = 1$$, $$f(1) = 2$$ y $$f'(1)=-2$$. Calculad el polinomio de Hermite que interpola estos puntos.
Ver desarrollo y solución
Desarrollo:
En este caso tenemos $$n+1=2$$ puntos, por lo tanto el grado del polinomio de Hermite será $$2n+1 = 3$$. Procedemos tal y como hemos explicado, escribimos en una tabla los puntos repitiendo aquellos de los que conocemos la derivada:
| $$0$$ | $$3$$ | |||
| $${f'}_0=1$$ | ||||
| $$0$$ | $$3$$ | $$\dfrac{-1-1}{1-0}=-2$$ | ||
| $$\dfrac{2-3}{1}=-1$$ | $$\dfrac{-1+2}{1-0}=1$$ | |||
| $$1$$ | $$2$$ | $$\dfrac{-2+1}{1-0}=-1$$ | ||
| $${f'}_1=-2$$ | ||||
| $$1$$ | $$2$$ |
Así, el polinomio se escribe de la misma forma, tomando el primer elemento de cada columna (empezando por la segunda).
$$$\begin{array}{rl} P_3(x)=& 3+1(x-0)-2(x-0)^2+1(x-0)^2(x-1)\\ =& 3+x-2x^2+x^3-x^2= x^3-3x^2+x+3 \end{array}$$$
Solución:
$$P_3(x)= x^3-3x^2+x+3 $$