Comencem amb aquest exemple:
Un usuari diposita $$3.000$$ € en un compte d'estalvi amb un interès del $$6\%$$ anual però en lloc de retirar els interessos els manté en el dipòsit, de manera que passen a engrossir la quantitat invertida i generen així nous interessos.
Quants diners hi haurà en el compte al cap de $$5$$ anys?
Si el període de liquidació és anual, és a dir el banc ingressa els interessos en el compte en finalitzar l'any, una opció és calcular l'interès simple aconseguit cada any i anar-lo acumulant al total.
Es denominarà $$I_1$$ l'interès generat en el primer any:
$$$I_1=C\cdot r \cdot t=3.000\cdot 0,06\cdot 1=180€$$$
Si aquests $$180$$ € d'interessos aconseguits en el primer any se sumen als $$3.000$$ € inicials, a l'inici del segon any hi haurà $$3.180$$ € en el compte, que serà la quantitat inicial per calcular l'interès simple d'aquest període:
$$$I_2=3.180\cdot 0,06\cdot 1=190,8€$$$
Amb el que al final del segon any s'hauran acumulat $$3.180+190,8 = 3.370,8$$ €, que serà el capital inicial del tercer any:
$$$I_3=3.370,8\cdot 0,06\cdot 1=202,25€$$$
Capital acumulat $$=3370,8+202,25=3573,05€$$
L'interès en el quart any serà:
$$$I_4=3.573,05\cdot 0,06\cdot 1=214,38€$$$
Capital acumulat $$=3573,05+214,38=3787,43€$$
I, finalment, al final dels cinc anys el total del compte ascendirà a:
$$$I_5=3.787,43\cdot 0,06\cdot 1=227,25€$$$
Total acumulat $$=3787,43+227,25=4014,68$$€
Una manera molt més ràpida de realitzar aquests càlculs és mitjançant la relació que defineix l'interès compost:
$$$C_f=C\cdot (1+r)^t$$$
on $$C_f$$ és el capital final, $$C$$ és el capital inicial, $$r$$ el rèdit (el tant per u de l'interès), i $$t$$ és el temps.
En aplicar la relació a l'exemple s'obté:
$$$C_f=3.000\cdot (1+0,06)^5=3.000\cdot (1,06)^5=3.000\cdot 1,3382=4.014,6€$$$
En aquest cas, aplicar la relació ha estat immediat perquè el rèdit i el temps coincideixen en que tots dos són anuals. No obstant això, aquest cas no sol ser el més freqüent.
Els bancs i les caixes d'estalvi manegen períodes de liquidació molt diversos: mensuals, trimestrals, semestrals, anuals, etc. I és clar, no és el mateix que els interessos engrosseixin el total invertit al mes següent que al cap d'un any. De manera que per a que la fórmula de l'interès compost sigui certa cal expressar el rèdit i el temps en funció del període de liquidació que utilitzi el banc.
Per exemple:
Un client ingressa $$10.000$$ € en un compte amb un interès anual del $$4,50\%$$. Si els interessos es van acumulant en el compte cada trimestre, quina quantitat de diners hi haurà al cap de $$5$$ anys? Quin haurà estat l'interès generat en aquest període?
El primer que cal fer és adonar-se que el període de liquidació és trimestral i que, per tant, el rèdit i el temps hauran d'expressar-se segons aquesta dada, és a dir, caldrà esbrinar el rèdit trimestral i el nombre de trimestres que hi ha en $$5$$ anys.
Per trobar el rèdit trimestral, que es denominarà $$r(t)$$, es pren l'expressió entre parèntesis de la fórmula de l'interès compost i s'ha de complir que:
$$$(1+r_t)^4=(1+r)^1$$$
És a dir, el rèdit de quatre trimestres és igual al rèdit d'un any, ja que $$1$$ any té $$4$$ trimestres.
Sabent per l'enunciat que $$r = 0,045$$, només cal aïllar $$r(t)$$ per a conèixer aquesta dada. Per això primer cal passar l'exponent a l'altra banda de la igualtat:
$$$ 1 + r_t =(1+r)^{\frac{1}{4}} \Rightarrow r_t=(1+r)^{\frac{1}{4}} -1$$$
Es calcula el rèdit trimestral amb les dades que es tenen:
$$$ r_t=(1+0,045)^{\frac{1}{4}} -1 = (1,045)^{\frac{1}{4}} -1=1,011-1=0,011$$$
Ara només queda calcular quants períodes de liquidació trimestrals hi ha en $$5$$ anys:
Si $$1$$ any té $$4$$ trimestres, $$5$$ anys tindran:
$$$4\cdot 5=20 \ \mbox{trimestres}$$$
Amb les dades obtingudes ja es pot aplicar la fórmula de l'interès compost per calcular els diners acumulats al final del període:
$$$C_f=C \cdot (1+r_t)^t$$$
$$$C_f=10.000 \cdot (1+0,011)^20=10.000\cdot (1,011)^20=$$$ $$$=10.000\cdot 1,245 = 12.450€$$$
Amb el que acabem de resoldre la primera pregunta de l'exercici. Per trobar la segona n'hi ha prou amb restar la quantitat final i la inicial, ja que la diferència entre ambdues seran els interessos aconseguits:
$$$12.450-10.000=2.450€$$$
Cal remarcar la importància de calcular el rèdit segons el període de liquidació de la manera en que s'ha realitzat a l'exercici per no emportar-nos sorpreses.
Per exemple, si un banc ofereix un dipòsit al $$12\%$$ anual amb un període de liquidació semestral es podria pensar que el rèdit semestral serà:
$$$\mbox{Si} \ r_a=0,12 \Rightarrow r_s=\dfrac{0,12}{2}=0,06$$$
Com que en un any hi ha $$2$$ períodes de liquidació semestrals, sembla lògic pensar que si l'interès anual és del $$12\%$$, el semestral serà del $$6\%$$, però en realitat no és del tot així.
Per demostrar-ho només cal calcular el rèdit semestral tal com s'ha mostrat en l'exercici anterior:
$$$(1+r_s)^2=(1+r)^1 \Rightarrow 1+r_s=(1+r)^{\frac{1}{2}} \Rightarrow r_s=(1+r)^{\frac{1}{2}} -1$$$
$$$r_s=(1+0,12)^{\frac{1}{2}} -1 = (1,12)^{\frac{1}{2}} - 1=1,0583-1=0,0583$$$
És a dir, l'interès semestral no és del $$6\%$$ com es podria pensar sinó que és del $$5,83\%$$.
Un últim exemple:
Una caixa d'estalvis va concedir un préstec de $$120.000$$ € a una empresa. Al cap dels $$8$$ anys acordats, la caixa va rebre un total de $$20.599,13$$ € en concepte d'interessos, que es cobraven anualment. Quin era l'interès d'aquest préstec?
Es tracta d' aïllar el rèdit de la relació de l'interès compost i passar-lo a percentatge:
$$$ C_f=C(1+r)^t \Rightarrow \dfrac{C_f}{C}=(1+r)^t \Rightarrow \Big( \dfrac{C_f}{C}\Big)^{\frac{1}{t}}=1+r \Rightarrow$$$
$$$\Rightarrow r=\Big( \dfrac{C_f}{C}\Big)^{\frac{1}{t}} -1$$$
La quantitat final serà la inicial més els interessos generats:
$$$C_f=120.000+20.599,13=140.599,13$$$
Ara es pot calcular el rèdit amb la resta de dades de l'enunciat:
$$$r=\Big( \dfrac{140.599,13}{120.000} \Big) ^{\frac{1}{8}} -1 = 1,172^{\frac{1}{8}} -1 = 1,02-1=0,02$$$
De manera que l'interès del préstec era del $$2\%$$.