Suposem que $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=0$$ i $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=0$$, llavors tenim que $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{0}{0}$$ i ens apareix una indeterminació.
En aquest cas ens preguntem quina funció tendeix més ràpid a zero: si és $$f(x)$$, llavors el límit valdrà zero, i si és $$g(x)$$ llavors el límit valdrà infinit.
Fixem-nos que $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{0}{0}$$ implica que $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$$ i hem passat d'una indeterminació tipus zero partit per zero a una tipus infinit partit per infinit.
Vegem alguns exemples:
a) $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\frac{x}{x^2-1}}{\frac{2+x}{x^2}}}=\frac{0}{0} \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\frac{x}{x^2-1}}{\frac{2+x}{x^2}}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x \cdot x^2}{(x^2-1) \cdot (2+x)}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^3}{x^3}}=1$$
ja que $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a \cdot b}{b \cdot c}$$
b) $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\frac{2+x}{\ln x}}{\frac{\ln x}{x}}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x \cdot (2+x)}{\ln x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^2}{\ln x^2}}=+ \infty$$