Suposem que $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(X)}=\pm \infty$$ i $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=\pm \infty$$, llavors tenim que $$ \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$$ , i així obtenim una indeterminació.
Per saber el valor del límit haurem de fixar-nos en l'expressió de cada funció i trobar el terme de major ordre. Un cop localitzat, en funció de la seva posició (a dalt o a baix de la fracció) direm que el límit és infinit, zero, o en cas de trobar-se en ambdós costats de la fracció, el quocient dels seus coeficients principals.
Recordem les principals funcions ordenades segons l'ordre del seu infinit: $$$\log_{r} x < < x^n << x^m << a^x << b^x << x^x \mbox{ on } n< m \mbox{ i } b > a > 0$$$
Vegem alguns exemples:
-
Si $$b>a>0$$ aleshores $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^k+log_{r}+a^x}{b^x-a^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{a^x}{b^x}}=0$$
-
$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^2+3^4x^3-x^4}{2x-\ln x+ x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x^4}{x^2}}=- \infty$$
-
$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2e^x-\log_{2}x}{x+1-3e^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2e^x}{3e^x}}=\frac{2}{3}$$
- $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{(1-x)\cdot 2^x}{(1+x^2)\cdot 2^x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x \cdot 2^x}{x^2\cdot 2^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-1}{x}}=0$$