Resoldre l'equació: $$x^2 \cdot y' +2x\cdot y=1$$
Desenvolupament:
Aquesta és una EDO lineal, dividint l'equació per $$x$$ (notem que $$x$$ no pot ser zero, ja que no es compliria la igualtat).
Per tant, reescrivim l' EDO $$$y'=-\dfrac{2}{x}\cdot y+\dfrac{1}{x^2}=a(x)\cdot y+b(x)$$$ veient, clarament, que és una EDO lineal.
EDO Homogènia:
Busquem una solució de l' EDO homogènia: $$y'=-\dfrac{2}{x}\cdot y$$ que es tracta d'una EDO separable que sabem resoldre: $$$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2}{x}\cdot y \Rightarrow \dfrac{dy}{y}=-\dfrac{2}{x}dx \Rightarrow \int \dfrac{dy}{y}=-\int \dfrac{2}{x}dx \Rightarrow $$$ $$$ \Rightarrow \ln|y|=\ln|x^{-2}|+C \Rightarrow y(x)=\dfrac{k}{x^2}, \ k\in\mathbb{R}$$$
EDO no homogènia:
Busquem una solució particular del tipus $$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$$ on $$y_1(x)=\dfrac{1}{x^2}$$. Sabem que la funció $$u(x)$$ és solució de $$$u'=\dfrac{b(x)}{y_1}=\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}}=1$$$ per tant $$u(x)=x$$.
Així doncs, una solució particular és: $$$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)=x\cdot\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{x}$$$ Finalment, la solució serà la suma de la les solucions trobades: $$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\dfrac{k}{x^2}+\dfrac{1}{x}, \ k\in\mathbb{R}$$$
Solució:
$$y(x)=\dfrac{k}{x^2}+\dfrac{1}{x}, \ k\in\mathbb{R}$$