Resolver la ecuación: $$x^2 \cdot y' +2x\cdot y=1$$
Desarrollo:
Ésta es una EDO lineal, puesto que dividiendo la ecuación por $$x$$ (notemos que $$x$$ no puede ser cero, ya que no se cumpliría la igualdad).
Por tanto, reescribimos la EDO: $$$y'=-\dfrac{2}{x}\cdot y+\dfrac{1}{x^2}=a(x)\cdot y+b(x)$$$ que es una EDO lineal.
EDO Homogénea:
Buscamos una solución de la EDO homogénea: $$y'=-\dfrac{2}{x}\cdot y$$ que se trata de una EDO separable que sabemos resolver: $$$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2}{x}\cdot y \Rightarrow \dfrac{dy}{y}=-\dfrac{2}{x}dx \Rightarrow \int \dfrac{dy}{y}=-\int \dfrac{2}{x}dx \Rightarrow $$$ $$$ \Rightarrow \ln|y|=\ln|x^{-2}|+C \Rightarrow y(x)=\dfrac{k}{x^2}, \ k\in\mathbb{R}$$$
EDO no homogénea:
Buscamos solución particular del tipo $$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$$ donde $$y_1(x)=\dfrac{1}{x^2}$$. Sabemos que la función $$u(x)$$ es solución de $$$u'=\dfrac{b(x)}{y_1}=\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}}=1$$$ por lo tanto $$u(x)=x$$.
Así pues, una solución particular es: $$$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)=x\cdot\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{x}$$$ Finalmente, la solución será la suma de la las soluciones encontradas: $$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\dfrac{k}{x^2}+\dfrac{1}{x}, \ k\in\mathbb{R}$$$
Solución:
$$y(x)=\dfrac{k}{x^2}+\dfrac{1}{x}, \ k\in\mathbb{R}$$