Una EDO lineal és una EDO de la forma: $$$y'=a(x) \cdot y+b(x)$$$ on $$a(x)$$ i $$b(x)$$ són funcions contínues.
Un exemple d'EDO lineal seria: $$$y'=5x^2\cdot y+2x^2$$$ encara que, de vegades, trobarem una EDO lineal després de fer alguna transformació. Per exemple, podrien haver-nos donat l'EDO de la següent manera: $$$\displaystyle \frac {y'}{5x^2}=y+\frac{2}{5}$$$
i l'hauríem de reescriure (multiplicant per $$x^2$$) per aconseguir la forma anterior.
En el cas particular en què $$b(x)=0$$, direm que l'equació és homogènia.
La resolució d'aquest tipus d'equacions es divideix en dos passos.
- Resoldre la part homogènia.
Resolem l'equació: $$y'_h=a(x)\cdot y_h$$. Es tracta d'una EDO separable, i que, per tant, sabem resoldre. Aquesta solució és: $$$y_h(x)=k\cdot e^{\int a(x) \ dx}$$$
En el nostre exemple, tenim: $$$\displaystyle y'_h=5x^2y_h \Rightarrow y_h(x)=k\cdot e^{\int 5x^2 \ dx}=k \cdot e^{\frac{5}{3}x^3}$$$
- Trobar una solució particular de l'EDO no homogènia.
Per a això utilitzarem el mètode de variació de constants. Anomenant $$y_1(x)=e^{\int a(x) dx}$$ busquem una solució particular del tipus $$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$$.
Imposem que sigui solució: $$$\displaystyle \left.\begin{matrix} y'_p=u' \cdot y_1+u \cdot y'_1=u'\cdot y_1+u\cdot a(x) \cdot y_1 \\ y'_p=a(x) \cdot y_p+b(x)=a(x)\cdot u\cdot y_1+b(x) \end{matrix}\right\} \Rightarrow u'=\frac{b(x)}{y_1}$$$
Resolem aquesta última equació (només cal integrar a banda i banda) i ja tenim una solució particular.
En el nostre exemple prenem $$$\displaystyle y_1(x)=e^{\frac{5}{3}x^3}$$$ Llavors busquem una solució particular de la forma $$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$$. Hem vist que $$u(x)$$ té la següent derivada $$$\displaystyle u'=\frac{b(x)}{y_1(x)}=\frac{2x^2}{e^{\frac{5}{3}x^3}}=2x^2\cdot e^{-\frac{5}{3}x^3}$$$
i, integrant, s'obté: $$$\displaystyle u(x)=\int 2x^2\cdot e^{-\frac{5}{3}x^3} \cdot dx = -\frac{2}{5} e^{-\frac{5}{3}x^3}$$$
D'aquesta manera, $$$y_p(x)=-\frac{2}{5} \cdot e^{-\frac{5}{3}x^3}\cdot e^{\frac{5}{3}x^3}=-\frac{2}{5} $$$
Finalment la solució de l'equació lineal és $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$. Remarquem que la constant apareix en la solució homogènia (no té sentit posar constants d'integració en la particular).
Per tant, en el nostre exemple, la solució de l'EDO és: $$$y(x)=k \cdot e^{\frac{5}{3}x^3}-\frac{2}{5}$$$