Equacions amb nombres factorials i nombres combinatoris

Veiem ara equacions que contenen factorials o números combinatoris en general. Poden ser equacions senzilles o especialment difícils, per la qual cosa s'ha de tenir certa cura quan es generen. Vegem primer com es resol una equació senzilla.

$$$x!=72\cdot(x-2)!$$$ Passem la $$x$$ al primer membre de l'equació i desenvolupem els factorials. $$$\begin{array}{rcl} \dfrac{x!}{(x-2)!} &=& 72 \\ \dfrac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!}&=& 72 \\ x(x-1)=x^2-x&=&72 \end{array}$$$

amb el que hem de resoldre l'equació de segon grau:

$$x^2-x-72=0$$

$$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4\cdot72}}{2}=\dfrac{1\pm17}{2}$$

$$x_1=9$$, $$\ x_2=-8$$

Descartem la solució negativa, ja que no té sentit parlar del factorial d'un nombre negatiu. Amb el que la solució que ens demanen serà doncs $$x = 9$$.

Vegem un altre exemple una mica més complicat. Resoldre: $$$ \begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x \\ 3 \end{pmatrix} =x+1$$$

Apliquem al primer membre la fórmula de Stifel: $$$ \begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+1 \\ 3 \end{pmatrix} = x+1$$$

i desenvolupem el nombre combinatori: $$$\begin{pmatrix} x+1 \\ 3 \end{pmatrix} = \dfrac{(x+1)!}{3!(x-2)!} = \dfrac{(x+1)\cdot x \cdot (x-1)\cancel{(x-2)}}{3!\cancel{(x-2)!}} =x+1$$$

Simplificant $$(x+1)$$ a ambdós membres queda l'equació de segon grau: $$$x^2-x=-6 \ \Rightarrow \ x^2-x-6=0$$$

que passem a resoldre: $$$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\dfrac{1\pm5}{2} \Rightarrow x_1=3, \ x_2=-2$$$

Com hem fet abans descartem la solució negativa per no tenir sentit, de manera que la resposta és $$x=3$$.

Com dèiem al principi, construir una equació en què intervinguin factorials o números combinatoris és quelcom delicat. En aquest últim exemple anem a veure una manera de fer-ho.

Comencem decidint qual serà la solució de l'equació. Per exemple $$x = 1$$. L'equació més senzilla possible amb aquesta solució és $$x - 1 = 0$$. Elevem ambdós membres al quadrat i anem introduint nous elements:

$$$ \begin{array} {rcl} (x-1)^2&=&0 \\ x^2-2x+1&=&0 \\ x(x-2)+1&=&0 \\ x(x-2)&=&-1 \\ \dfrac{x!}{(x-1)!}\cdot\dfrac{(x-2)!}{(x-3)!}&=&-1 \\ x!(x-2)!&=&-(x-1)!(x-2)! \end{array}$$$